Considere a equação x^3 + e^x = 0. Use o teorema do valor intermediário e o teorema do valor médio para classificar as afirmaçôes em verdadeiras e falsas:
(I) Existe uma solução no intervalo [-1,0].
(II) Existem duas soluções da equaçẩo em R.
(III) Existe uma única solução da equação em R.
(A) V - F - F (B) V - F - V © F-V-F (D) F - F - F (E) V-V-F

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo é verificar se as afirmações sobre as soluções dessa equação são verdadeiras ou falsas usando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Valor Médio. Para isso, precisamos entender o comportamento da função e como ela se comporta nos intervalos e no conjunto dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a afirmação (I): “Existe uma solução no intervalo [-1, 0].” Para usar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos verificar se a função muda de sinal nesse intervalo.
Calculando :
Calculando :
Como e , a função passa de negativa para positiva no intervalo [-1, 0]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos uma solução nessa faixa. Então, a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação (II): “Existem duas soluções da equação em .” Para investigar isso, vamos olhar para o comportamento da função e verificar se ela cruza o eixo x mais de uma vez.
Calculando a derivada de :
Observando , vemos que é sempre positivo ou zero, e é sempre positivo. Portanto, é sempre positivo, o que significa que a função é sempre crescente em . Se a função é monótona crescente, ela não pode cruzar o eixo x mais de uma vez. Portanto, só há uma única solução real para a equação. Assim, a afirmação (II) é falsa.

Passo 4

Finalmente, vamos para a afirmação (III): “Existe uma única solução da equação em .” Como vimos no passo anterior, a função é sempre crescente porque sua derivada é sempre positiva. Uma função crescente só pode cruzar o eixo x uma única vez. Além disso, já comprovamos que existe pelo menos uma solução no intervalo [-1, 0]. Portanto, há exatamente uma solução real para a equação. A afirmação (III) é verdadeira.

Resposta

A classificação das afirmações é a letra (B) V-F-V.

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