Então, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo é verificar se as afirmações sobre as soluções dessa equação são verdadeiras ou falsas usando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Valor Médio. Para isso, precisamos entender o comportamento da função e como ela se comporta nos intervalos e no conjunto dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a afirmação (I): “Existe uma solução no intervalo [-1, 0].” Para usar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos verificar se a função muda de sinal nesse intervalo.
Calculando :
Calculando :
Como e , a função passa de negativa para positiva no intervalo [-1, 0]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos uma solução nessa faixa. Então, a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação (II): “Existem duas soluções da equação em .” Para investigar isso, vamos olhar para o comportamento da função e verificar se ela cruza o eixo x mais de uma vez.
Calculando a derivada de :
Observando , vemos que é sempre positivo ou zero, e é sempre positivo. Portanto, é sempre positivo, o que significa que a função é sempre crescente em . Se a função é monótona crescente, ela não pode cruzar o eixo x mais de uma vez. Portanto, só há uma única solução real para a equação. Assim, a afirmação (II) é falsa.
Passo 4
Finalmente, vamos para a afirmação (III): “Existe uma única solução da equação em .” Como vimos no passo anterior, a função é sempre crescente porque sua derivada é sempre positiva. Uma função crescente só pode cruzar o eixo x uma única vez. Além disso, já comprovamos que existe pelo menos uma solução no intervalo [-1, 0]. Portanto, há exatamente uma solução real para a equação. A afirmação (III) é verdadeira.
Resposta
A classificação das afirmações é a letra (B) V-F-V.