Considere a equação
. Use o teorema do valor intermediário e o teorema do valor médio para classificar as afirmaçôes em verdadeiras e falsas:
(I) Existe uma solução no intervalo [-1,0].
(II) Existem duas soluções da equaçẩo em
.
(III) Existe uma única solução da equação em
.
(A)
(B)
©
(D)
(E) V-V-F
(I) Existe uma solução no intervalo [-1,0].
(II) Existem duas soluções da equaçẩo em
(III) Existe uma única solução da equação em
(A)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a equação
. O objetivo é verificar se as afirmações sobre as soluções dessa equação são verdadeiras ou falsas usando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Valor Médio. Para isso, precisamos entender o comportamento da função
e como ela se comporta nos intervalos e no conjunto dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a afirmação (I): “Existe uma solução no intervalo [-1, 0].” Para usar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos verificar se a função muda de sinal nesse intervalo.
Calculando
:
Calculando
:
Como
e
, a função passa de negativa para positiva no intervalo [-1, 0]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos uma solução nessa faixa. Então, a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação (II): “Existem duas soluções da equação em
.” Para investigar isso, vamos olhar para o comportamento da função e verificar se ela cruza o eixo x mais de uma vez.
Calculando a derivada de
:
Observando
, vemos que
é sempre positivo ou zero, e
é sempre positivo. Portanto,
é sempre positivo, o que significa que a função
é sempre crescente em
. Se a função é monótona crescente, ela não pode cruzar o eixo x mais de uma vez. Portanto, só há uma única solução real para a equação. Assim, a afirmação (II) é falsa.
Passo 4
Finalmente, vamos para a afirmação (III): “Existe uma única solução da equação em
.” Como vimos no passo anterior, a função
é sempre crescente porque sua derivada
é sempre positiva. Uma função crescente só pode cruzar o eixo x uma única vez. Além disso, já comprovamos que existe pelo menos uma solução no intervalo [-1, 0]. Portanto, há exatamente uma solução real para a equação. A afirmação (III) é verdadeira.
Resposta
A classificação das afirmações é a letra (B) V-F-V.