Considere f(x)=llsen(alpha x), & se x<0, x^2-pi2 x, & se 0 <= x <= pi2, arctan (x-beta), & se x>pi2 Para quais valores das constantes q e beta, a função f(x) é contínua em todo seu domínio?
(A) Para quaisquer valores alpha in R e beta in R.
(B) Para todo alpha=k pi, onde k in Z, rho beta=0.
© Näo existe alpha in R que torne f(x) continua em x=0.
(D) Para todo alpha in R e beta=pi2.
(E) Para todo alpha=pi2 e beta=pi2+k pi, onde k in Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para quais valores das constantes alpha e beta a função f(x) é contínua em todo o seu domínio. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, e vamos precisar entender como garantir que a função não “quebre” nos pontos onde a definição dela muda, ou seja, em x=0 e x=pi2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para que a função seja contínua em um ponto c, o limite quando x se aproxima de c pela esquerda tem que ser igual ao limite pela direita, e esse limite tem que ser igual ao valor da função em c. Ou seja:
limx to c^- f(x) = limx to c^+ f(x) = f(c)

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em x=0. Para x < 0, , e para f(x) = sen(alpha x), 0 <= x <= pi2. Calculamos os limites:
f(x) = x^2 - pi2x
E limx to 0^- f(x) = sen(0) = 0 . Então, a função é contínua em limx to 0^+ f(x) = 0^2 - pi2 cdot 0 = 0 para qualquer valor de f(0) = 0.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em x=pi2. Para 0 <= x <= pi2, f(x) = x^2 - pi2x, e para x > pi2, f(x) = arctan(x - beta). Calculamos os limites:
limx to pi2^- f(x) = (pi2)^2 - pi2 cdot pi2 = pi^24 - pi^24 = 0
limx to pi2^+ f(x) = arctan(pi2 - beta)
E f(pi2) = (pi2)^2 - pi2 cdot pi2 = 0.
Para que a função seja contínua em x=pi2, precisamos que:
arctan(pi2 - beta) = 0
Isso acontece quando:
pi2 - beta = 0 implies beta = pi2

Passo 5

Resumindo, a função f(x) é contínua em todo o seu domínio para qualquer valor de alpha in R e quando beta = pi2.

Resposta

(D) Para todo alpha in R e beta=pi2.

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(A) V - F - F (B) V - F - V © F-V-F (D) F - F - F (E) V-V-F