Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para quais valores das constantes alpha e beta a função f(x) é contínua em todo o seu domínio. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, e vamos precisar entender como garantir que a função não “quebre” nos pontos onde a definição dela muda, ou seja, em x=0 e x=pi2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para que a função seja contínua em um ponto c, o limite quando x se aproxima de c pela esquerda tem que ser igual ao limite pela direita, e esse limite tem que ser igual ao valor da função em c. Ou seja:
limx to c^- f(x) = limx to c^+ f(x) = f(c)
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em x=0. Para x < 0, , e para f(x) = sen(alpha x), 0 <= x <= pi2. Calculamos os limites:
f(x) = x^2 - pi2x
E limx to 0^- f(x) = sen(0) = 0 . Então, a função é contínua em limx to 0^+ f(x) = 0^2 - pi2 cdot 0 = 0 para qualquer valor de f(0) = 0.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em x=pi2. Para 0 <= x <= pi2, f(x) = x^2 - pi2x, e para x > pi2, f(x) = arctan(x - beta). Calculamos os limites: