Considere a equação abaixo, que descreve o escoamento de um fluido através de um orifício:
em que
é a velocidade do fluido;
é a diferença de pressão (queda de pressão);
é a densidade do fluido e
é uma constante. Calcular as dimensões da constante
de acordo com o Sistema Internacional (SI) de modo que a equação seja dimensionalmente consistente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve como um fluido flui por um orifício:
Aqui,
é a velocidade do fluido,
é a diferença de pressão,
é a densidade do fluido e
é uma constante que a gente precisa descobrir as dimensões segundo o Sistema Internacional (SI). Nosso objetivo é garantir que todos os lados da equação tenham as mesmas unidades, ou seja, que a equação seja dimensionalmente consistente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões de cada termo na equação:
-
Velocidade (
): No SI, a velocidade é medida em metros por segundo, então as dimensões são , onde representa comprimento e representa tempo. -
Diferença de pressão (
): A pressão é força por unidade de área. A força tem dimensão (massa vezes aceleração) e a área é . Então, a pressão tem dimensões . -
Densidade (
): A densidade é massa por unidade de volume, então suas dimensões são . -
Constante (
): É o que queremos descobrir, então representaremos suas dimensões como .
Passo 3
Agora, vamos substituir as dimensões na equação original:
Vamos simplificar a parte dentro da raiz:
Então, a equação fica:
A raiz quadrada de
é
, então temos:
Passo 4
Para a equação ser consistente, as dimensões dos dois lados devem ser iguais. Observando:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Isso significa que
é adimensional, ou seja, não tem unidades.
Resposta
A constante
é adimensional no Sistema Internacional de Unidades.
Exercícios relacionados
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades
e
são constantes):
i. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
ii. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
i. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
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Calcule a densidade em
de:
a) Um líquido com uma densidade de 995 。
a) Um líquido com uma densidade de 995
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades
e
são constantes):
i. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
ii. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
i. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
ii. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
Um coeficiente de difusão tem o valor de
. Calcular o valor correspondente nas seguintes unidades:
.