Considere a equação abaixo, que descreve o escoamento de um fluido através de um orifício:
v=C raizDe
em que v é a velocidade do fluido; De é a diferença de pressão (queda de pressão); rho é a densidade do fluido e C é uma constante. Calcular as dimensões da constante C de acordo com o Sistema Internacional (SI) de modo que a equação seja dimensionalmente consistente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve como um fluido flui por um orifício:
v = C raizDe
Aqui, v é a velocidade do fluido, De é a diferença de pressão, rho é a densidade do fluido e C é uma constante que a gente precisa descobrir as dimensões segundo o Sistema Internacional (SI). Nosso objetivo é garantir que todos os lados da equação tenham as mesmas unidades, ou seja, que a equação seja dimensionalmente consistente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões de cada termo na equação:
  • Velocidade ( v): No SI, a velocidade é medida em metros por segundo, então as dimensões são De, onde rho representa comprimento e C representa tempo.
  • Diferença de pressão ( ): A pressão é força por unidade de área. A força tem dimensão (massa vezes aceleração) e a área é . Então, a pressão tem dimensões .
  • Densidade ( ): A densidade é massa por unidade de volume, então suas dimensões são .
  • Constante ( ): É o que queremos descobrir, então representaremos suas dimensões como .

Passo 3

Agora, vamos substituir as dimensões na equação original:
[L][T]^-1 = [C] raiz[M][L]^-1[T]^-2[M][L]^-3
Vamos simplificar a parte dentro da raiz:
[M][L]^-1[T]^-2[M][L]^-3 = [L]^2 [T]^-2
Então, a equação fica:
[L][T]^-1 = [C] raiz[L]^2 [T]^-2
A raiz quadrada de [L][T]^-1 = [C] [L][T]^-1 é , então temos:

Passo 4

Para a equação ser consistente, as dimensões dos dois lados devem ser iguais. Observando:
[L][T]^-1 = [C] [L][T]^-1
Podemos dividir ambos os lados por 1 = [C] :
Isso significa que é adimensional, ou seja, não tem unidades.

Resposta

A constante é adimensional no Sistema Internacional de Unidades.

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