Considere a equação
d y / d t = a - y^2
Encontre todos os pontos críticos da equação (ii). Observe que não existe ponto crítico se a < 0, existe um ponto crítico se a = 0 e existem dois pontos críticos se a > 0.

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . O objetivo aqui é encontrar todos os pontos críticos dessa equação. Pontos críticos são valores de onde a derivada é zero, ou seja, onde a função não está aumentando nem diminuindo. Para resolver isso, precisamos entender um pouco de cálculo, especialmente sobre como encontrar esses pontos onde a taxa de variação é nula.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são pontos críticos. Na nossa equação , os pontos críticos acontecem quando . Então, vamos igualar a equação a zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para . Queremos encontrar os valores de que satisfazem a equação acima:
Para isolar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 4

Aqui, temos que considerar os diferentes casos para o valor de :
  1. Se : A raiz quadrada de um número negativo não é real, ou seja, não existe um número real que satisfaça a equação. Portanto, não há pontos críticos.
  2. Se : A equação fica . Então, há exatamente um ponto crítico em .
  3. Se : Temos duas soluções reais, e . Assim, existem dois pontos críticos.

Resposta

Dependendo do valor de :
  • Se , não existe ponto crítico.
  • Se , o único ponto crítico é .
  • Se , existem dois pontos críticos em e .

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