Considere a equação
Encontre todos os pontos críticos da equação (ii). Observe que não existe ponto crítico se
, existe um ponto crítico se
e existem dois pontos críticos se
.
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
. O objetivo aqui é encontrar todos os pontos críticos dessa equação. Pontos críticos são valores de
onde a derivada
é zero, ou seja, onde a função não está aumentando nem diminuindo. Para resolver isso, precisamos entender um pouco de cálculo, especialmente sobre como encontrar esses pontos onde a taxa de variação é nula.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são pontos críticos. Na nossa equação
, os pontos críticos acontecem quando
. Então, vamos igualar a equação a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Queremos encontrar os valores de
que satisfazem a equação acima:
Para isolar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 4
Aqui, temos que considerar os diferentes casos para o valor de
:
-
Se
: A raiz quadrada de um número negativo não é real, ou seja, não existe um número real que satisfaça a equação. Portanto, não há pontos críticos. -
Se
: A equação fica . Então, há exatamente um ponto crítico em . -
Se
: Temos duas soluções reais, e . Assim, existem dois pontos críticos.
Resposta
Dependendo do valor de
:
- Se
, não existe ponto crítico. - Se
, o único ponto crítico é . - Se
, existem dois pontos críticos em e .