Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.
f(x) = { 4 - x^2, x < 1; 3/2 * x + 3/2, 1 <= x <= 3; x + 3, x > 3 }

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que pode assumir) e desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que cada parte da função faz e como elas se conectam.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio. Olhando para a função, vemos que ela está definida para três intervalos de :
Juntando esses intervalos, percebemos que toda a reta dos números reais está coberta. Ou seja, não tem nenhum valor de que não esteja sendo tratado. Portanto, o domínio é:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem. Isso significa descobrir todos os possíveis valores de para cada parte da função.
  1. Para :
    Essa é uma parábola invertida. O valor máximo ocorre quando :
    À medida que se afasta de 0, diminui sem limite inferior. Então, nessa parte, vai de até 4.
  2. Para :
    Essa é uma função linear crescente. Calculamos os valores nos extremos:
    Então, nessa parte, varia de 3 a 6.
  3. Para :
    Também é uma função linear crescente. À medida que aumenta, também aumenta sem limite superior. O menor valor ocorre em :
    Então, nessa parte, vai de 6 até .
Juntando todas as partes, a imagem da função é:
Note que de 4 para 3 há uma sobreposição, então podemos simplificar para:
Ou seja, todos os números reais são atingidos.

Passo 4

Por último, vamos desenhar o gráfico da função. Vamos analisar cada parte:
  1. Para : A parábola está voltada para baixo, com vértice em .
  2. Para : A reta começa em com e vai até com .
  3. Para : A reta começa em com e sobe continuamente.
No ponto , verificamos que:
Então, a função é contínua nesse ponto.
Já em :
Também é contínua nesse ponto.
Portanto, o gráfico é uma parábola para , seguida por duas retas contínuas que se conectam sem interrupções.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem: (todos os números reais)
  • Gráfico: Conforme descrito nos passos acima, composto por uma parábola para e duas retas contínuas para e .

Exercícios relacionados