Considere a equação
dy/dx = (2y - x + 5) / (2x - y - 4)
Fazendo a substituição x = X - h e y = Y - k encontre h e k de tal forma que a equação seja homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma equação diferencial usando uma substituição de coordenadas. A ideia é tornar a equação homogênea, ou seja, que ela possa ser expressa em termos de . Para isso, vamos precisar substituir e e encontrar os valores de e que fazem essa transformação acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição na equação original:
Substituindo e , temos:
Como e são constantes, as derivadas e são zero, então simplificamos para:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos para destacar os constantes:
Para que a equação seja homogênea, queremos que os termos constantes desapareçam. Ou seja, os coeficientes constantes no numerador e no denominador devem ser iguais a zero.

Passo 4

Vamos igualar a parte constante a zero:
Agora, temos um sistema de equações para resolver.

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo na equação :

Resposta

Os valores são e .

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