Dada a função f(x) = (3 - raiz(x + 1)) / (x - 8), determine o domínio de f. É possível definir f(8) para que f seja contínua em x0 = 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . Precisamos descobrir o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de ela está definida. Além disso, queremos saber se é possível definir de maneira que a função seja contínua em . Para isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas, frações e o conceito de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá nenhuma expressão indefinida, como divisão por zero ou raiz de número negativo.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da fração: . A divisão por zero não é permitida, então precisamos que . Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador: . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Então, .

Passo 5

Resolvendo , temos . Então, combinando essa condição com a que encontramos no denominador, ou seja, , o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a -1, exceto 8.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é possível definir de forma que a função seja contínua em . Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de 8 deve ser igual a .

Passo 7

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 8:
Substituindo , teríamos uma divisão por zero, então precisamos manipular a expressão para encontrar esse limite.

Passo 8

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 9

Agora, calculamos o limite:
Então, o limite quando se aproxima de 8 é .

Passo 10

Para que seja contínua em , devemos definir .

Resposta

O domínio de é todos os números reais tais que e . Além disso, é possível definir para que a função seja contínua em .

Exercícios relacionados

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:
y'' + 4y = delta(t - pi) - delta(t - 2pi)
onde y(0) = 1 e y'(0) = 0. Calcule y(pi / 2), y(3 pi / 2) e y(3 pi).
Resolva a seguinte equação diferencial:
(D-4)³(D³-D²+D-1)y=5x²e^(4x)+8sen(x)
Qual é a equação característica da equação homogênea associada?
Considere a equação
dy/dx = (2y - x + 5) / (2x - y - 4)
Fazendo a substituição x = X - h e y = Y - k encontre h e k de tal forma que a equação seja homogênea.
Mostre que os gráficos das funções f(x) = e^x e g(x) = x + 2 se intersectam para algum x >= 0.