Dada a função
, determine o domínio de
. É possível definir
para que
seja contínua em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. Precisamos descobrir o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de
ela está definida. Além disso, queremos saber se é possível definir
de maneira que a função seja contínua em
. Para isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas, frações e o conceito de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá nenhuma expressão indefinida, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da fração:
. A divisão por zero não é permitida, então precisamos que
. Isso significa que
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador:
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Então,
.
Passo 5
Resolvendo
, temos
. Então, combinando essa condição com a que encontramos no denominador, ou seja,
, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a -1, exceto 8.
Passo 6
Agora, vamos verificar se é possível definir
de forma que a função seja contínua em
. Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de 8 deve ser igual a
.
Passo 7
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 8:
Substituindo
, teríamos uma divisão por zero, então precisamos manipular a expressão para encontrar esse limite.
Passo 8
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 9
Agora, calculamos o limite:
Então, o limite quando
se aproxima de 8 é
.
Passo 10
Para que
seja contínua em
, devemos definir
.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais
tais que
e
. Além disso, é possível definir
para que a função seja contínua em
.
Exercícios relacionados
Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:
onde
e
. Calcule
e
.
Resolva a seguinte equação diferencial:
Qual é a equação característica da equação homogênea associada?
Considere a equação
Fazendo a substituição
e
encontre
e
de tal forma que a equação seja homogênea.
Mostre que os gráficos das funções
e
se intersectam para algum
.