Mostre que a substituição
na e.d.o
transforma a equação em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (edo) que precisa ser transformada usando a substituição
. Nosso objetivo é mostrar que, ao fazer essa substituição na equação original
, ela se transforma na nova equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para calcular as derivadas de
em relação a
e depois substituir na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição que vamos fazer:
. Isso significa que
. Nosso objetivo é reescrever as derivadas de
em relação a
em termos de derivadas em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
usando a regra da cadeia. Sabemos que
.
Como
, temos
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Usando a regra da cadeia novamente, temos:
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 5
Agora que temos
e
em termos de
, vamos substituir esses resultados na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Vamos juntar os termos semelhantes:
Lembrando que
, podemos substituir:
Resposta
Assim, ao fazer a substituição
na equação diferencial original, ela se transforma em:
Exercícios relacionados
Mostre que os gráficos das funções
e
se intersectam para algum
.
Considere a equação
Fazendo a substituição
e
encontre
e
de tal forma que a equação seja homogênea.
Resolva a equação não homogênea
via o método de coeficientes indeterminados.
Dado que o fator integrante
da equação
é uma função apenas de
, mostre que