Mostre que os gráficos das funções f(x) = e^x e g(x) = x + 2 se intersectam para algum x >= 0.

Passo 1

Beleza! A gente precisa mostrar que os gráficos das funções e se cruzam em algum lugar onde . Isso está dentro do estudo de funções exponenciais e lineares, e vamos precisar comparar os valores delas para diferentes valores de para ver se elas chegam a se igualar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada função se comporta:
  • A função é uma função exponencial que cresce rapidamente à medida que aumenta.
  • A função é uma função linear que cresce de forma constante, aumentando 1 unidade em para cada 1 unidade em .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de que são maiores ou iguais a 0 e calcular e para ver onde elas podem se encontrar.
Por exemplo:
  • Para :
    Aqui, .
  • Para :
    Ainda, .
  • Para :
    Agora, .

Passo 4

Observamos que:
  • Em , .
  • Em , .
Isso indica que, entre e , a função exponencial passa de ser menor que para ser maior. Como as funções são contínuas, isso significa que elas devem se cruzar em algum ponto entre 1 e 2.

Resposta

Portanto, os gráficos das funções e se intersectam para algum valor de entre 1 e 2, ou seja, para algum .

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