Considere a equação em diferenças
Fazendo um shift nos índices, isto é, trocando
por
, obtemos a equação em diferenças
. Resolva esta equação e verifique que a solução obtida é solução da equação em diferenças original.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação em diferenças, que é tipo uma equação que relaciona termos de uma sequência. A equação original é:
E a gente também tem uma versão com os índices “deslocados”:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações em diferenças lineares e verificar se a solução que encontramos serve para a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação com os índices deslocados:
Essa é uma equação em diferenças linear homogênea de primeira ordem. O que isso significa? Bem, “linear” quer dizer que cada termo é de primeiro grau, “homogênea” significa que não tem um termo constante (tipo +3 ou -5), e “primeira ordem” indica que a equação relaciona um termo com o termo anterior.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos supor que a solução seja da forma:
Onde r é uma constante que precisamos encontrar. Isso é uma técnica comum para resolver equações em diferenças lineares.
Passo 4
Substituindo y_t = r^{t} na equação:
Como r^{t} ≠ 0, temos que:
Passo 5
Então, a solução geral da equação é:
Onde C é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa solução funciona na equação original:
Substituindo y_t = C \cdot 2^{t}:
Isso confirma que nossa solução está correta!
Resposta
A solução geral da equação em diferenças dada é:
Onde C é uma constante determinada pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Instrução: X: média do dos primeiros algarismos do seu número de matrícula excluindo o zero.
a)
Instrução: Y = último algarismo do seu número de matrícula. Caso termine com zero use o penúltimo algarismo.