Considere a equação em diferenças
Fazendo um shift nos índices, isto é, trocando por , obtemos a equação em diferenças . Resolva esta equação e verifique que a solução obtida é solução da equação em diferenças original.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação em diferenças, que é tipo uma equação que relaciona termos de uma sequência. A equação original é:
E a gente também tem uma versão com os índices “deslocados”:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações em diferenças lineares e verificar se a solução que encontramos serve para a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação com os índices deslocados:
Essa é uma equação em diferenças linear homogênea de primeira ordem. O que isso significa? Bem, “linear” quer dizer que cada termo é de primeiro grau, “homogênea” significa que não tem um termo constante (tipo +3 ou -5), e “primeira ordem” indica que a equação relaciona um termo com o termo anterior.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos supor que a solução seja da forma:
Onde r é uma constante que precisamos encontrar. Isso é uma técnica comum para resolver equações em diferenças lineares.

Passo 4

Substituindo y_t = r^{t} na equação:
Como r^{t} ≠ 0, temos que:

Passo 5

Então, a solução geral da equação é:
Onde C é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa solução funciona na equação original:
Substituindo y_t = C \cdot 2^{t}:
Isso confirma que nossa solução está correta!

Resposta

A solução geral da equação em diferenças dada é:
Onde C é uma constante determinada pelas condições iniciais.

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