A quantidade de NaCl no Tanque e no Tanque após min da abertura das válculas presentes no sistema destes tanques, sabendo que em 20 e .
Instrução: Y = último algarismo do seu número de matrícula. Caso termine com zero use o penúltimo algarismo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a quantidade de NaCl nos Tanques 1 ( ) e 2 ( ) após minutos da abertura das válvulas. No início, em , temos e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxas de fluxo e possivelmente resolver equações diferenciais que descrevem como as quantidades de NaCl mudam com o tempo.

Passo 2

Vamos supor que as válvulas permitem que o NaCl se misture entre os tanques a uma certa taxa. Para modelar isso, podemos definir:
  • : taxa de fluxo de NaCl do Tanque 1 para o Tanque 2.
  • : taxa de fluxo de NaCl do Tanque 2 para o Tanque 1.

Passo 3

As variações nas quantidades de NaCl nos tanques com o tempo podem ser descritas pelas seguintes equações diferenciais:
Isso significa que a quantidade de NaCl no Tanque 1 está diminuindo pela taxa e aumentando pela taxa , enquanto no Tanque 2 ocorre o contrário.

Passo 4

Para resolver essas equações, precisamos saber as taxas de fluxo e . Se assumirmos que as taxas s��o proporcionais às quantidades de NaCl presentes nos tanques, podemos expressá-las como:
Onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 5

Substituindo as taxas nas equações diferenciais, temos:
Essas equações indicam que as mudanças nas quantidades de NaCl dependem das quantidades atuais nos tanques.

Passo 6

Podemos resolver essas equações usando métodos de resolução de equações diferenciais, como encontrar as soluções homogêneas e particulares. A solução geral será da forma:
Onde , , , e são constantes que determinamos usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando as condições iniciais e , podemos encontrar os valores das constantes. Após resolver, obtemos as expressões específicas para e em termos de .

Resposta

Após resolver as equações, as quantidades de NaCl nos tanques após minutos são:
Onde é a constante de proporcionalidade determinada com base nas condições do sistema.

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a)
Considere a equação em diferenças
Fazendo um shift nos índices, isto é, trocando por , obtemos a equação em diferenças . Resolva esta equação e verifique que a solução obtida é solução da equação em diferenças original.
Resolva as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: