A quantidade de NaCl no Tanque
e no Tanque
após
min da abertura das válculas presentes no sistema destes tanques, sabendo que em
20 e
.
Instrução: Y = último algarismo do seu número de matrícula. Caso termine com zero use o penúltimo algarismo.
Instrução: Y = último algarismo do seu número de matrícula. Caso termine com zero use o penúltimo algarismo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a quantidade de NaCl nos Tanques 1 (
) e 2 (
) após
minutos da abertura das válvulas. No início, em
, temos
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxas de fluxo e possivelmente resolver equações diferenciais que descrevem como as quantidades de NaCl mudam com o tempo.
Passo 2
Vamos supor que as válvulas permitem que o NaCl se misture entre os tanques a uma certa taxa. Para modelar isso, podemos definir:
-
: taxa de fluxo de NaCl do Tanque 1 para o Tanque 2. -
: taxa de fluxo de NaCl do Tanque 2 para o Tanque 1.
Passo 3
As variações nas quantidades de NaCl nos tanques com o tempo podem ser descritas pelas seguintes equações diferenciais:
Isso significa que a quantidade de NaCl no Tanque 1 está diminuindo pela taxa
e aumentando pela taxa
, enquanto no Tanque 2 ocorre o contrário.
Passo 4
Para resolver essas equações, precisamos saber as taxas de fluxo
e
. Se assumirmos que as taxas s��o proporcionais às quantidades de NaCl presentes nos tanques, podemos expressá-las como:
Onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 5
Substituindo as taxas nas equações diferenciais, temos:
Essas equações indicam que as mudanças nas quantidades de NaCl dependem das quantidades atuais nos tanques.
Passo 6
Podemos resolver essas equações usando métodos de resolução de equações diferenciais, como encontrar as soluções homogêneas e particulares. A solução geral será da forma:
Onde
,
,
, e
são constantes que determinamos usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicando as condições iniciais
e
, podemos encontrar os valores das constantes. Após resolver, obtemos as expressões específicas para
e
em termos de
.
Resposta
Após resolver as equações, as quantidades de NaCl nos tanques após
minutos são:
Onde
é a constante de proporcionalidade determinada com base nas condições do sistema.
Exercícios relacionados
a)
Considere a equação em diferenças
Fazendo um shift nos índices, isto é, trocando
por
, obtemos a equação em diferenças
. Resolva esta equação e verifique que a solução obtida é solução da equação em diferenças original.
Resolva as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: