a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que temos é uma relação de recorrência:
com a condição inicial
. Isso significa que cada termo da sequência depende do termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações de recorrência lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que precisamos encontrar. Temos:
Isso mostra que para calcular
, precisamos conhecer
e adicionar
multiplicado por 1.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar uma solução geral para essa recorrência. Como é uma recorrência linear não homogênea, podemos encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular.
A parte homogênea é quando a equação é igual a zero:
A solução geral dessa parte é:
onde
é uma constante que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Vamos supor que a solução particular tem a forma
, onde
e
são constantes que vamos achar.
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Isso nos dá duas equações:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da recorrência é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
:
Resposta
A solução da recorrência é:
Exercícios relacionados
Considere a equação em diferenças
Fazendo um shift nos índices, isto é, trocando
por
, obtemos a equação em diferenças
. Resolva esta equação e verifique que a solução obtida é solução da equação em diferenças original.
Instrução: X: média do dos primeiros algarismos do seu número de matrícula excluindo o zero.
Instrução: Y = último algarismo do seu número de matrícula. Caso termine com zero use o penúltimo algarismo.
Resolva as seguintes equações diferenciais de segunda ordem: