a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que temos é uma relação de recorrência:
com a condição inicial
. Isso significa que cada termo da sequência depende do termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações de recorrência lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que precisamos encontrar. Temos:
Isso mostra que para calcular
, precisamos conhecer
e adicionar
multiplicado por 1.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar uma solução geral para essa recorrência. Como é uma recorrência linear não homogênea, podemos encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular.
A parte homogênea é quando a equação é igual a zero:
A solução geral dessa parte é:
onde
é uma constante que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Vamos supor que a solução particular tem a forma
, onde
e
são constantes que vamos achar.
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Isso nos dá duas equações:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da recorrência é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
:
Resposta
A solução da recorrência é: