a) y(n+1) - 2y(n) = n, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que temos é uma relação de recorrência: com a condição inicial . Isso significa que cada termo da sequência depende do termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações de recorrência lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que precisamos encontrar. Temos:
Isso mostra que para calcular , precisamos conhecer e adicionar multiplicado por 1.

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar uma solução geral para essa recorrência. Como é uma recorrência linear não homogênea, podemos encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular.
A parte homogênea é quando a equação é igual a zero:
A solução geral dessa parte é:
onde é uma constante que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos supor que a solução particular tem a forma , onde e são constantes que vamos achar.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos dá duas equações:
Então, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da recorrência é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo :

Resposta

A solução da recorrência é:

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