(a) Mostre que os pontos
e
são colineares (pertencem à mesma reta) mostrando que
.
(b) Use as inclinações para mostrar que
, e
são colineares.
(b) Use as inclinações para mostrar que
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que os pontos
,
e
estão alinhados, ou seja, pertencem à mesma reta. Para isso, vamos utilizar a distância entre os pontos e verificar se a soma das distâncias
é igual à distância
. Precisaremos aplicar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos
e
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os pontos
e
. Usando a mesma fórmula:
Passo 4
Em seguida, calculamos a distância entre os pontos
e
:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a soma das distâncias
é igual a
:
Como a igualdade é verdadeira, os pontos
,
e
estão alinhados.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Queremos usar as inclinações das retas para mostrar que os pontos
,
e
são colineares. A inclinação de uma reta é dada pelo coeficiente angular, que pode ser calculado pela variação em
dividida pela variação em
entre dois pontos.
Passo 7
Calculamos a inclinação da reta que passa por
e
:
Passo 8
Em seguida, calculamos a inclinação da reta que passa por
e
:
Passo 9
Como as inclinações
e
são iguais, isso significa que as retas
e
são paralelas e, na verdade, são a mesma reta. Portanto, os pontos
,
e
estão alinhados.
Resposta
Os pontos
,
e
são colineares, conforme demonstrado pelas distâncias e pelas inclinações iguais das retas entre eles.
Exercícios relacionados
Ache uma equação da mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos
e
.
(a) Encontre as equações dos lados do triângulo com vértices
e
.
(b) Ache equações para as medianas desse triângulo. Onde elas se interceptam?
(b) Ache equações para as medianas desse triângulo. Onde elas se interceptam?
Passa pelo ponto
, inclinação
Considere a equação diferencial dada abaixo:
Obtenha a solução
correspondente à maior raiz da equação indicial.