(a) Mostre que os pontos e são colineares (pertencem à mesma reta) mostrando que .
(b) Use as inclinações para mostrar que , e são colineares.

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que os pontos , e estão alinhados, ou seja, pertencem à mesma reta. Para isso, vamos utilizar a distância entre os pontos e verificar se a soma das distâncias é igual à distância . Precisaremos aplicar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos e . Usando a mesma fórmula:

Passo 4

Em seguida, calculamos a distância entre os pontos e :

Passo 5

Agora, vamos verificar se a soma das distâncias é igual a :
Como a igualdade é verdadeira, os pontos , e estão alinhados.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Queremos usar as inclinações das retas para mostrar que os pontos , e são colineares. A inclinação de uma reta é dada pelo coeficiente angular, que pode ser calculado pela variação em dividida pela variação em entre dois pontos.

Passo 7

Calculamos a inclinação da reta que passa por e :

Passo 8

Em seguida, calculamos a inclinação da reta que passa por e :

Passo 9

Como as inclinações e são iguais, isso significa que as retas e são paralelas e, na verdade, são a mesma reta. Portanto, os pontos , e estão alinhados.

Resposta

Os pontos , e são colineares, conforme demonstrado pelas distâncias e pelas inclinações iguais das retas entre eles.

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(a) Encontre as equações dos lados do triângulo com vértices e .
(b) Ache equações para as medianas desse triângulo. Onde elas se interceptam?
Passa pelo ponto , inclinação
Considere a equação diferencial dada abaixo:
Obtenha a solução correspondente à maior raiz da equação indicial.