Considere a equação diferencial
b) (1 ponto) Determine a solução da equação diferencial dada que atende à condição inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver e encontrar a solução que passa pelo ponto
. A equação que tá rolando é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos com
dos termos com
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a separação. Observa que:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, reescrevemos a equação como:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. Começando com o lado esquerdo, fazemos uma substituição para facilitar:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Do lado direito, integramos diretamente:
Passo 5
Igualando as integrais:
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 4:
Onde
.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde
.
Então:
Para simplificar, podemos renomear a constante:
Passo 7
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para achar
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
e
:
Isso confirma que a constante está correta.
Resposta
A solução da equação diferencial que atende à condição inicial
é:
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