Utilize apenas a definição por limite para determinar a equação inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e um ponto específico no gráfico dessa função. A tarefa é descobrir a equação da reta tangente nesse ponto usando a definição de derivada por limite. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada usando limites e depois aplicar isso para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada pelo limite:
Isso basicamente nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto . Então, vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Substituindo na definição, temos:
Vamos simplificar o numerador.

Passo 4

Expandindo :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Simplificando os termos:
Agora, podemos fatorar no numerador:

Passo 6

Cancelando o no numerador e denominador:
Agora, como tende a 0, podemos substituir:
Então, a derivada da função é .

Passo 7

Agora, para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto , substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 8

Com a inclinação e o ponto , usamos a equação da reta tangente:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente no ponto é:

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial
b) (1 ponto) Determine a solução da equação diferencial dada que atende à condição inicial
Utilize apenas a definição por limite para determinar a equação inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. ponto
Questão 1 ( 6 pontos) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Sabendo que após 20 anos a população triplica, e após 40 anos a população é 200 mil habitantes,
b) ( 5 pontos) Resolva a equação diferencial apresentada no item (a) e determine a populaçăo em funçăo do tempo
Dica: não foidada a populaçăo inicial, você precisará determina-la na resolução o item b.
Utilize apenas a definição por limite para determinar a equação inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. ponto (1,2)