Questão 1 ( 6 pontos) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Sabendo que após 20 anos a população triplica, e após 40 anos a população é 200 mil habitantes,
b) ( 5 pontos) Resolva a equação diferencial apresentada no item (a) e determine a populaçăo em funçăo do tempo
Dica: não foidada a populaçăo inicial, você precisará determina-la na resolução o item b.
b) ( 5 pontos) Resolva a equação diferencial apresentada no item (a) e determine a populaçăo em funçăo do tempo
Dica: não foidada a populaçăo inicial, você precisará determina-la na resolução o item b.
Passo 1
Vamos resolver um problema de crescimento populacional! A questão fala sobre a população de uma cidade que cresce de forma proporcional ao número de habitantes que já existem. Isso significa que o crescimento depende diretamente da quantidade de pessoas na cidade. Para resolver, precisamos usar equações diferenciais que modelam esse tipo de crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial que descreve esse crescimento. Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, podemos escrever:
Aqui,
é a população e
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 4
As integrais ficam assim:
Onde
é a constante de integração. Podemos simplificar a expressão removendo o valor absoluto e rearranjando para resolver
:
Vamos chamar
de
, que é a população inicial:
Passo 5
Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar
e
. Sabemos que após 20 anos a população triplica:
Dividindo ambos os lados por
:
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver
:
Passo 6
Também sabemos que após 40 anos a população é de 200 mil habitantes:
Substituindo
pelo valor encontrado:
Então:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a função da população ao longo do tempo:
Resposta
A população em função do tempo é:
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Utilize apenas a definição por limite
para determinar a equação inclinação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto dado.
ponto
Considere a equação diferencial
b) (1 ponto) Determine a solução da equação diferencial dada que atende à condição inicial
Utilize apenas a definição por limite
para determinar a equação inclinação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto dado.
ponto (1,2)
Se
, em que
e
s. sent, determine o valor de
, quando
e
.