Questão 1 ( 6 pontos) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Sabendo que após 20 anos a população triplica, e após 40 anos a população é 200 mil habitantes,
b) ( 5 pontos) Resolva a equação diferencial apresentada no item (a) e determine a populaçăo em funçăo do tempo
Dica: não foidada a populaçăo inicial, você precisará determina-la na resolução o item b.

Passo 1

Vamos resolver um problema de crescimento populacional! A questão fala sobre a população de uma cidade que cresce de forma proporcional ao número de habitantes que já existem. Isso significa que o crescimento depende diretamente da quantidade de pessoas na cidade. Para resolver, precisamos usar equações diferenciais que modelam esse tipo de crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que descreve esse crescimento. Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, podemos escrever:
Aqui, é a população e é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Agora, vamos integrar ambos os lados:

Passo 4

As integrais ficam assim:
Onde é a constante de integração. Podemos simplificar a expressão removendo o valor absoluto e rearranjando para resolver :
Vamos chamar de , que é a população inicial:

Passo 5

Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar e . Sabemos que após 20 anos a população triplica:
Dividindo ambos os lados por :
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver :

Passo 6

Também sabemos que após 40 anos a população é de 200 mil habitantes:
Substituindo pelo valor encontrado:
Então:

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a função da população ao longo do tempo:

Resposta

A população em função do tempo é:

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