Considere a equação dos gases ideais P V=n R T, ou V=n R TP, onde P é a pressão, V o volume e T a temperatura absoluta. R é a constante dos gases e n o número de moles, que também pode ser considerado constante.
SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial d V deve deve ser exata ou inexata e justifique. Usando o critério de Euler confirme a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve o comportamento dos gases ideais: $ P V = n R T $. Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ T $ é a temperatura, $ R $ é a constante dos gases, e $ n $ é o número de moles, que a gente vai considerar constante. A questão pede para a gente descobrir se a diferencial $ dV $ é exata ou inexa sem usar o critério de Euler, e depois confirmar essa resposta usando o critério de Euler. Vamos precisar entender um pouco sobre diferenciais exatas e inexactas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre diferenciais exatas e inexactas. Uma diferencial é chamada de exata se ela for o diferencial total de alguma função potencial. Isso significa que existe uma função, digamos $ f $, tal que $ df $ iguala a nossa diferencial. Se não existir tal função, a diferencial é chamada de inexa.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão para $ V $: $ V = \frac{n R T}{P} $. Como $ n $, $ R $ são constantes, podemos reescrever isso como $ V = \frac{C T}{P} $, onde $ C = n R $ é uma constante.

Passo 4

Vamos calcular a diferencial de $ V $:
V
Isso significa que $ dV $ depende de $ dT $ e $ dP $.

Passo 5

Para $ dV $ ser exata, ele deve ser o diferencial total de alguma função. Mas observando a expressão de $ dV $, vemos que ela depende de duas variáveis independentes, $ T $ e $ P $, de forma que não conseguimos escrever como um único diferencial perfeito sem considerar uma relação entre $ T $ e $ P $. Isso sugere que $ dV $ é uma diferencial inexa.

Passo 6

Agora, vamos usar o critério de Euler pra confirmar. O critério de Euler diz que para uma diferencial $ M dT + N dP $ ser exata, deve satisfazer:
M dT + N dP
No nosso caso, $ M = \frac{C}{P} $ e $ N = -\frac{C T}{P^2} $.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial P = -CP^2
partial Npartial T = -CP^2
Surpresa! As duas derivadas são iguais.

Passo 8

Segundo o critério de Euler, como $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $, a diferencial $ dV $ poderia ser exata. Mas lembrando que inicialmente concluímos que ela é inexa porque depende de duas variáveis sem uma relação fixa entre elas.

Passo 9

Na verdade, houve um engano na análise inicial. Como as derivadas parciais são iguais, isso indica que $ dV $ é uma diferencial exata.

Resposta

Depois de analisar a expressão e aplicar o critério de Euler, concluímos que a diferencial $ dV $ é exata.

Exercícios relacionados