Considere a equação dos gases ideais
, ou
, onde
é a pressão,
o volume e
a temperatura absoluta.
é a constante dos gases e
o número de moles, que também pode ser considerado constante.
SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial
deve deve ser exata ou inexata e justifique. Usando o critério de Euler confirme a sua resposta.
SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve o comportamento dos gases ideais: $ P V = n R T $. Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ T $ é a temperatura, $ R $ é a constante dos gases, e $ n $ é o número de moles, que a gente vai considerar constante. A questão pede para a gente descobrir se a diferencial $ dV $ é exata ou inexa sem usar o critério de Euler, e depois confirmar essa resposta usando o critério de Euler. Vamos precisar entender um pouco sobre diferenciais exatas e inexactas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre diferenciais exatas e inexactas. Uma diferencial é chamada de exata se ela for o diferencial total de alguma função potencial. Isso significa que existe uma função, digamos $ f $, tal que $ df $ iguala a nossa diferencial. Se não existir tal função, a diferencial é chamada de inexa.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão para $ V $: $ V = \frac{n R T}{P} $. Como $ n $, $ R $ são constantes, podemos reescrever isso como $ V = \frac{C T}{P} $, onde $ C = n R $ é uma constante.
Passo 4
Vamos calcular a diferencial de $ V $:
Isso significa que $ dV $ depende de $ dT $ e $ dP $.
Passo 5
Para $ dV $ ser exata, ele deve ser o diferencial total de alguma função. Mas observando a expressão de $ dV $, vemos que ela depende de duas variáveis independentes, $ T $ e $ P $, de forma que não conseguimos escrever como um único diferencial perfeito sem considerar uma relação entre $ T $ e $ P $. Isso sugere que $ dV $ é uma diferencial inexa.
Passo 6
Agora, vamos usar o critério de Euler pra confirmar. O critério de Euler diz que para uma diferencial $ M dT + N dP $ ser exata, deve satisfazer:
No nosso caso, $ M = \frac{C}{P} $ e $ N = -\frac{C T}{P^2} $.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas parciais:
Surpresa! As duas derivadas são iguais.
Passo 8
Segundo o critério de Euler, como $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $, a diferencial $ dV $ poderia ser exata. Mas lembrando que inicialmente concluímos que ela é inexa porque depende de duas variáveis sem uma relação fixa entre elas.
Passo 9
Na verdade, houve um engano na análise inicial. Como as derivadas parciais são iguais, isso indica que $ dV $ é uma diferencial exata.
Resposta
Depois de analisar a expressão e aplicar o critério de Euler, concluímos que a diferencial $ dV $ é exata.