Considere a equação homogênea
2 t^2 y''(t) + 3 t y'(t) - y(t) = 0
Calcule W[y1, y2](t). O que acontece quando t tende a zero?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
2 t^2 y''(t) + 3 t y'(t) - y(t) = 0
Nosso objetivo é calcular o Wronskiano das soluções dessa equação, ou seja, W[y1, y2](t), e ver o que acontece com ele quando t se aproxima de zero. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria das equações diferenciais e o que é o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão para facilitar a aplicação da teoria. Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, identificamos que a equação está na forma geral:
onde:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o Wronskiano W(t) de duas soluções y1(t) e y2(t) dessa equação satisfaz a seguinte relação, conhecida como a fórmula de Abel:
Essa fórmula nos permite calcular o Wronskiano sem conhecer explicitamente as soluções y1 e y2.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de Abel à nossa equação. Temos que:
Portanto, a integral fica:
Exponenciando essa expressão, obtemos:

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula do Wronskiano:
Isso significa que o Wronskiano varia com t conforme a expressão acima. O valor de depende das soluções específicas que escolhemos, mas para nosso propósito, estamos interessados no comportamento geral.

Passo 6

Para entender o que acontece quando t tende a zero, analisamos a expressão:
À medida que t se aproxima de zero, o termo tende a infinito, já que estamos dividindo por um número cada vez menor elevado a uma potência positiva.

Resposta

O Wronskiano das soluções da equação é dado por
Quando t tende a zero, o Wronskiano W(t) tende ao infinito.

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