Considere a equação homogênea
Calcule
. O que acontece quando
tende a zero?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
Nosso objetivo é calcular o Wronskiano das soluções dessa equação, ou seja,
, e ver o que acontece com ele quando
se aproxima de zero. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria das equações diferenciais e o que é o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão para facilitar a aplicação da teoria. Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui, identificamos que a equação está na forma geral:
onde:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o Wronskiano
de duas soluções
e
dessa equação satisfaz a seguinte relação, conhecida como a fórmula de Abel:
Essa fórmula nos permite calcular o Wronskiano sem conhecer explicitamente as soluções
e
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula de Abel à nossa equação. Temos que:
Portanto, a integral fica:
Exponenciando essa expressão, obtemos:
Passo 5
Agora, substituindo na fórmula do Wronskiano:
Isso significa que o Wronskiano varia com
conforme a expressão acima. O valor de
depende das soluções específicas que escolhemos, mas para nosso propósito, estamos interessados no comportamento geral.
Passo 6
Para entender o que acontece quando
tende a zero, analisamos a expressão:
À medida que
se aproxima de zero, o termo
tende a infinito, já que estamos dividindo por um número cada vez menor elevado a uma potência positiva.
Resposta
O Wronskiano das soluções da equação é dado por
Quando
tende a zero, o Wronskiano
tende ao infinito.