Sejam e soluções de no intervalo e . Mostre que e são linearmente independentes no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que as funções e são linearmente independentes em todo o intervalo . Esse problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Wronskiano, que nos ajuda a verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são linearmente independentes. Duas funções e são linearmente independentes se não existirem constantes e , diferentes de zero, tais que para todo no intervalo considerado.

Passo 3

Para verificar a independência linear, usamos o Wronskiano, que é uma determinação de uma matriz formada pelas funções e suas derivadas. Para duas funções, o Wronskiano é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano no ponto usando as condições iniciais fornecidas:
Substituindo esses valores na expressão do Wronskiano:

Passo 5

Como o Wronskiano no ponto é igual a 2, que é diferente de zero, concluímos que e são linearmente independentes no intervalo .

Resposta

As funções e são linearmente independentes no intervalo porque o Wronskiano calculado em é 2, diferente de zero.

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Considere a equação homogênea
Calcule . O que acontece quando tende a zero?
Questão 7 (3 pontos). Dados os gráficos na Figura 1:
I) O gráfico Posição 1 é o gráfico da equação . Verolaoluro
II) Se a equação relacionada ao gráfico Posição 2 é dado por , então a equação relacionada ao gráfico Posição 1 é dado por . falso
III) A equação do gráfico Posição 4 é . Veroladluro
IV) A equação do gráfico Posição 3 é . falso
Assinale a alternativa correta.
( Os itens I e III estão corretos.
b) Os itens II e III estão corretos.
© Os itens I e IV estão corretos.
d) Os itens I, III e IV estão corretos.
Posicgão 1

Posicáo 4

Posicáo 3




Figura 1: Gráficos
Considere as funções e .
Mostre que e são LD no intervalo .
Considere as funções e .
Mostre que e nunca podem ser soluções de no intervalo , se e são contínuas neste intervalo.