Sejam
e
soluções de
no intervalo
e
. Mostre que
e
são linearmente independentes no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que as funções
e
são linearmente independentes em todo o intervalo
. Esse problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Wronskiano, que nos ajuda a verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são linearmente independentes. Duas funções
e
são linearmente independentes se não existirem constantes
e
, diferentes de zero, tais que
para todo
no intervalo considerado.
Passo 3
Para verificar a independência linear, usamos o Wronskiano, que é uma determinação de uma matriz formada pelas funções e suas derivadas. Para duas funções, o Wronskiano é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano no ponto
usando as condições iniciais fornecidas:
Substituindo esses valores na expressão do Wronskiano:
Passo 5
Como o Wronskiano no ponto
é igual a 2, que é diferente de zero, concluímos que
e
são linearmente independentes no intervalo
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes no intervalo
porque o Wronskiano calculado em
é 2, diferente de zero.
Exercícios relacionados
Considere a equação homogênea
Calcule
. O que acontece quando
tende a zero?
Questão 7 (3 pontos). Dados os gráficos na Figura 1:
I) O gráfico Posição 1 é o gráfico da equação . Verolaoluro
II) Se a equação relacionada ao gráfico Posição 2 é dado por , então a equação relacionada ao gráfico Posição 1 é dado por
. falso
III) A equação do gráfico Posição 4 é . Veroladluro
IV) A equação do gráfico Posição 3 é . falso
Assinale a alternativa correta.
( Os itens I e III estão corretos.
b) Os itens II e III estão corretos.
© Os itens I e IV estão corretos.
d) Os itens I, III e IV estão corretos.
Posicgão 1
I) O gráfico Posição 1 é o gráfico da equação
II) Se a equação relacionada ao gráfico Posição 2 é dado por
III) A equação do gráfico Posição 4 é
IV) A equação do gráfico Posição 3 é
Assinale a alternativa correta.
( Os itens I e III estão corretos.
b) Os itens II e III estão corretos.
© Os itens I e IV estão corretos.
d) Os itens I, III e IV estão corretos.
Posicgão 1
Posicáo 4
Posicáo 3
Figura 1: Gráficos
Considere as funções
e
.
Mostre que e
são LD no intervalo
.
Mostre que
Considere as funções
e
.
Mostre que e
nunca podem ser soluções de
no intervalo
, se
e
são contínuas neste intervalo.
Mostre que