Sejam y1 e y2 soluções de L H no intervalo (-infinito, +infinito) com y1(0)=3, y1'(0)=1, y2(0)=-1 e y2'(0) = 1/3. Mostre que y1 e y2 são linearmente independentes no intervalo -\infty, +\infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que as funções e são linearmente independentes em todo o intervalo . Esse problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Wronskiano, que nos ajuda a verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são linearmente independentes. Duas funções e são linearmente independentes se não existirem constantes e , diferentes de zero, tais que para todo no intervalo considerado.

Passo 3

Para verificar a independência linear, usamos o Wronskiano, que é uma determinação de uma matriz formada pelas funções e suas derivadas. Para duas funções, o Wronskiano é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano no ponto usando as condições iniciais fornecidas:
Substituindo esses valores na expressão do Wronskiano:

Passo 5

Como o Wronskiano no ponto é igual a 2, que é diferente de zero, concluímos que e são linearmente independentes no intervalo .

Resposta

As funções e são linearmente independentes no intervalo porque o Wronskiano calculado em é 2, diferente de zero.

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