Sejam
e
soluções de
no intervalo
e
. Mostre que
e
são linearmente independentes no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que as funções
e
são linearmente independentes em todo o intervalo
. Esse problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Wronskiano, que nos ajuda a verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são linearmente independentes. Duas funções
e
são linearmente independentes se não existirem constantes
e
, diferentes de zero, tais que
para todo
no intervalo considerado.
Passo 3
Para verificar a independência linear, usamos o Wronskiano, que é uma determinação de uma matriz formada pelas funções e suas derivadas. Para duas funções, o Wronskiano é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano no ponto
usando as condições iniciais fornecidas:
Substituindo esses valores na expressão do Wronskiano:
Passo 5
Como o Wronskiano no ponto
é igual a 2, que é diferente de zero, concluímos que
e
são linearmente independentes no intervalo
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes no intervalo
porque o Wronskiano calculado em
é 2, diferente de zero.