Considere as funções e .
Mostre que e são LD no intervalo .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para mostrar que as funções e são linearmente dependentes (LD) no intervalo . Para isso, vamos precisar entender o que significa linearmente dependentes e como verificar isso para funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente dependente. Duas funções e são linearmente dependentes em um intervalo se existir constantes e , não ambas zero, tais que para todo no intervalo.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar constantes e tais que:
para todo entre 0 e 1. Como está entre 0 e 1, (porque é positivo).

Passo 4

Simplificando a equação com :

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todo em [0,1], o coeficiente de deve ser zero:

Passo 6

Isso nos dá uma equação simples:
Isso significa que . Podemos escolher e (ou qualquer valor não nulo, mantendo a relação ).

Passo 7

Portanto, existe uma combinação linear não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes ou não é zero) que satisfaz a equação:
Isso mostra que as funções são linearmente dependentes no intervalo dado.

Resposta

As funções e são linearmente dependentes no intervalo .

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Considere as funções e .
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Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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