Considere as funções
e
.
Mostre que
e
são LD no intervalo
.
Mostre que
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para mostrar que as funções
e
são linearmente dependentes (LD) no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender o que significa linearmente dependentes e como verificar isso para funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente dependente. Duas funções
e
são linearmente dependentes em um intervalo se existir constantes
e
, não ambas zero, tais que
para todo
no intervalo.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar constantes
e
tais que:
para todo
entre 0 e 1. Como
está entre 0 e 1,
(porque
é positivo).
Passo 4
Simplificando a equação com
:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para todo
em [0,1], o coeficiente de
deve ser zero:
Passo 6
Isso nos dá uma equação simples:
Isso significa que
. Podemos escolher
e
(ou qualquer valor não nulo, mantendo a relação
).
Passo 7
Portanto, existe uma combinação linear não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes
ou
não é zero) que satisfaz a equação:
Isso mostra que as funções são linearmente dependentes no intervalo dado.
Resposta
As funções
e
são linearmente dependentes no intervalo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
soluções de
no intervalo
e
. Mostre que
e
são linearmente independentes no intervalo
.
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Calcule
. O que acontece quando
tende a zero?
Considere as funções
e
.
Mostre que e
nunca podem ser soluções de
no intervalo
, se
e
são contínuas neste intervalo.
Mostre que
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.