Considere a equação matricial , onde e são matrizes invertíveis
13. Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com um sistema de duas equações e três incógnitas. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso ajuda a visualizar melhor as equações para aplicar a eliminação:
Passo 3
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é eliminar o da segunda equação. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha:
Multiplicando a primeira linha por 2:
Subtraindo essa linha da segunda linha:
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda equação para uma das incógnitas. Vamos resolver para :
Isolando :
Passo 5
Com expresso em termos de , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :
Simplificando:
Passo 6
Como temos três incógnitas e apenas duas equações independentes, podemos atribuir um parâmetro à uma das variáveis. Vamos escolher , onde é qualquer número real.
Substituindo nas expressões encontradas:
Resposta
As soluções do sistema são dadas por:
Esse sistema possui grau de liberdade 1, já que uma das variáveis () é livre para assumir qualquer valor real.