Considere a equação matricial A C^2 X^t=C, onde A e C são matrizes invertíveis
13. Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(a) ccccx+ & y+ & z & =4 2 x+ & 5 y- & 2 z & =3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
x + y + z = 4 2x + 5y - 2z = 3
Aqui, estamos trabalhando com um sistema de duas equações e três incógnitas. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso ajuda a visualizar melhor as equações para aplicar a eliminação:
1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 5 & -2 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é eliminar o 2 times (1 1 1 | 4) = (2 2 2 | 8) da segunda equação. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha:
Multiplicando a primeira linha por 2:
(2 5 -2 | 3) - (2 2 2 | 8) = (0 3 -4 | -5)
Subtraindo essa linha da segunda linha:
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação para uma das incógnitas. Vamos resolver para 3y - 4z = -5 :
3y = 4z - 5 y = 43z - 53
Isolando :

Passo 5

Com x + y + z = 4 x + (43z - 53) + z = 4 expresso em termos de x + 43z - 53 + z = 4 x + (43 + 1)z = 4 + 53 x + 73z = 173 x = 173 - 73z x = 17 - 7z3 , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :
Simplificando:

Passo 6

Como temos três incógnitas e apenas duas equações independentes, podemos atribuir um parâmetro à uma das variáveis. Vamos escolher y = 43t - 53 x = 17 - 7t3 , onde é qualquer número real.
Substituindo nas expressões encontradas:

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = dfrac17 - 7t3 y = dfrac4t - 53 z = t onde t in R
Esse sistema possui grau de liberdade 1, já que uma das variáveis ( ) é livre para assumir qualquer valor real.

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