Determine os valores de k para os quais o posto da matriz ; [cccc1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1] é igual a 3. Qual o posto para outros valores de k ?
6. Determine todos os valores possíveis para pA, de acordo com os valores do parâmetro a. A=[ccc1 & 2 & a -2 & 4 a & 2 a & -2 & 1]

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício juntos! A questão pede para determinar os valores de 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1 para os quais o posto (ou ranking) da matriz abaixo é igual a 3 e também qual seria o posto para outros valores de .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de posto de uma matriz, que é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Para encontrar o posto, normalmente reduzimos a matriz para sua forma escalonada por linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz e começar a realizar operações de linha para simplificá-la. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma onde seja fácil identificar o posto.
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1

Passo 3

Vamos eliminar o 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & -2 & 1 & k-3 0 & 1 & 0 & -1 na terceira linha, primeira coluna, subtraindo a primeira linha da terceira:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -1 & k+1 0 & 1 & 0 & -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha:

Passo 5

Vamos eliminar o 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -1 & k+1 0 & 0 & 1 & -3 na quarta linha, segunda coluna, subtraindo a segunda linha da quarta:

Passo 6

Agora, observe que na quarta linha temos 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & k-2 0 & 0 & 1 & -3 . Vamos eliminar o na terceira linha, terceira coluna, somando a quarta linha à terceira:

Passo 7

Agora, a matriz está quase em forma escalonada. Vamos organizar as linhas para facilitar a identificação do posto:
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0 & k-2

Passo 8

Para determinar o posto da matriz, observamos quantas linhas não nulas existem. O posto será 4 se todas as linhas forem não nulas, ou menor se alguma linha for zero.
A última linha é . Ela será uma linha nula se , ou seja, .

Passo 9

Caso 1: Se , a última linha não é nula. Portanto, todas as quatro linhas são independentes, e o posto da matriz é 4.
Caso 2: Se , a última linha se torna , uma linha nula. Assim, restam apenas três linhas independentes, e o posto da matriz é 3.

Passo 10

Agora, vamos resolver o segundo exercício! A questão solicita determinar todos os valores possíveis para A = 1 & 2 & a -2 & 4a & 2 a & -2 & 1 , de acordo com os valores do parâmetro , na matriz:
Aqui, se refere ao posto da matriz . Vamos descobrir como o parâmetro influencia o posto da matriz.

Passo 11

Primeiro, vamos montar a matriz e entender que o posto depende de A = 1 & 2 & a -2 & 4a & 2 a & -2 & 1 . Nosso objetivo é encontrar para quais valores de a matriz tem diferentes postos.

Passo 12

Vamos calcular o determinante da matriz para verificar quando ela é inversível. Se o determinante for diferente de zero, o posto será 3. Se for zero, o posto pode ser menor.
O determinante de det(A) = 1 cdot (4a cdot 1 - 2 cdot (-2)) - 2 cdot (-2 cdot 1 - 2 cdot a) + a cdot (-2 cdot (-2) - 4a cdot a) é dado por:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 13

Calculando passo a passo:
det(A) = 1 cdot (4a + 4) - 2 cdot (-2 - 2a) + a cdot (4 - 4a^2)
det(A) = 4a + 4 + 4 + 4a^2
det(A) = 4a^2 + 4a + 8

Passo 14

Agora, analisamos quando 4a^2 + 4a + 8 = 0 :
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 15

Calculamos o discriminante De:
Como , a equação não possui raízes reais. Isso significa que para qualquer valor real de .

Passo 16

Como o determinante de nunca é zero, isso implica que a matriz é sempre invertível e, portanto, o seu posto é sempre 3, independentemente do valor de .

Resposta

Para todo valor real de , o posto da matriz é igual a 3.

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