Considere a equação matricial A C^2 X^t=C, onde A e C são matrizes invertíveis
(b) Calcule X, se A=C=[ccc1 & 1 & 1 -2 & 1 & 3 1 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação matricial A C^2 X^t = C. Aqui, A e C são matrizes que podem ser invertidas. Nosso objetivo é encontrar a matriz X. Para isso, vamos precisar entender de operações com matrizes, como multiplicação e inversão. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, queremos isolar X^t na equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de A C^2. Lembre-se que, para matrizes invertíveis, a inversa (A C^2)^-1 existe e possui a propriedade de que (A C^2)^-1 (A C^2) = I, onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados pela inversa de A C^2, temos:
(A C^2)^-1 (A C^2 X^t) = (A C^2)^-1 C
Simplificando o lado esquerdo:
I X^t = (A C^2)^-1 C
Então:
X^t = (A C^2)^-1 C

Passo 4

Agora, queremos encontrar X, não X^t. Para isso, vamos transpor ambos os lados da equação:
(X^t)^t = ( (A C^2)^-1 C )^t
Lembrando que a transposta do transposto retorna à matriz original e que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa:
X = C^t ( (A C^2)^-1 )^t

Passo 5

Sabemos que (A C^2)^-1 = C^-2 A^-1, então:
X = C^t (C^-2 A^-1)^t = C^t (A^-1)^t (C^-2)^t
Como a transposta de uma inversa é a inversa da transposta:
X = C^t (A^t)^-1 (C^t)^-2

Passo 6

Agora, vamos calcular X usando as matrizes fornecidas:
A = C = 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 3 1 & 0 & 1
Primeiro, calculamos C^2 = C cdot C:
C^2 = 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 cdot 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 = 0 & 2 & 5 -4 & 0 & 0 0 & 1 & 2
Em seguida, calculamos A^-1 e C^-1 (que são iguais, já que A = C):
A^-1 = C^-1 = 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 3 1 & 0 & 1^-1 = -1 & -1 & 1 2 & 1 & -1 -1 & 0 & 1
Agora, calculamos C^-2 = (C^-1)^2:
C^-2 = -1 & -1 & 1 2 & 1 & -1 -1 & 0 & 1 cdot -1 & -1 & 1 2 & 1 & -1 -1 & 0 & 1 = 0 & -1 & 2 -3 & -1 & 4 1 & 1 & -2
Finalmente, substituímos tudo na expressão de X:
X = C^t C^-2 A^-1 = C^t cdot C^-2 cdot C^-1
Calculando essa multiplicação, encontramos:
X = 0 & -1 & 2 -3 & -1 & 4 1 & 1 & -2

Resposta

A matriz X que satisfaz a equação dada é:
X = 0 & -1 & 2 -3 & -1 & 4 1 & 1 & -2

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