Considere a equação matricial , onde e são matrizes invertíveis
(b) Calcule , se
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação matricial A C^2 X^t = C. Aqui, A e C são matrizes que podem ser invertidas. Nosso objetivo é encontrar a matriz X. Para isso, vamos precisar entender de operações com matrizes, como multiplicação e inversão. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, queremos isolar X^t na equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de A C^2. Lembre-se que, para matrizes invertíveis, a inversa (A C^2)^-1 existe e possui a propriedade de que (A C^2)^-1 (A C^2) = I, onde I é a matriz identidade.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados pela inversa de A C^2, temos:
(A C^2)^-1 (A C^2 X^t) = (A C^2)^-1 C
Simplificando o lado esquerdo:
I X^t = (A C^2)^-1 C
Então:
X^t = (A C^2)^-1 C
Passo 4
Agora, queremos encontrar X, não X^t. Para isso, vamos transpor ambos os lados da equação:
(X^t)^t = ( (A C^2)^-1 C )^t
Lembrando que a transposta do transposto retorna à matriz original e que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa:
X = C^t ( (A C^2)^-1 )^t
Passo 5
Sabemos que (A C^2)^-1 = C^-2 A^-1, então:
X = C^t (C^-2 A^-1)^t = C^t (A^-1)^t (C^-2)^t
Como a transposta de uma inversa é a inversa da transposta:
X = C^t (A^t)^-1 (C^t)^-2
Passo 6
Agora, vamos calcular X usando as matrizes fornecidas: