Dados o ponto
e a reta
, considere a distância
.
Mostre que
;
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um ponto
e uma reta
descrita pelas equações paramétricas
, onde
é um número real. A tarefa é encontrar a distância
entre o ponto
e qualquer ponto
na reta
, e mostrar que essa distância pode ser expressa como
.
Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos no espaço. Se tivermos dois pontos
e
, a distância
é dada por:
Passo 3
No nosso caso, o ponto
tem coordenadas
e um ponto genérico
na reta
tem coordenadas
. Vamos substituir essas coordenadas na fórmula da distância.
Passo 4
Vamos simplificar cada termo dentro da raiz:
-
permanece como está. -
-
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos expandir cada quadrado:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Vamos somar os termos semelhantes:
Então, a expressão fica:
Resposta
Portanto, a distância entre o ponto
e qualquer ponto
na reta
é: