Dados o ponto P=(2,-1,3) e a reta L: X=(3 t,-7+5 t, 2+2 t), t in R, considere a distância d(P, X), com X in L.
Mostre que d(P, X)=raiz38 t^2-76 t+41, t in R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um ponto e uma reta descrita pelas equações paramétricas , onde é um número real. A tarefa é encontrar a distância entre o ponto e qualquer ponto na reta , e mostrar que essa distância pode ser expressa como .
Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos no espaço. Se tivermos dois pontos d(A, B) = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância é dada por:

Passo 3

No nosso caso, o ponto d(P, X) = raiz(3t - 2)^2 + (-7 + 5t - (-1))^2 + (2 + 2t - 3)^2 tem coordenadas e um ponto genérico na reta tem coordenadas . Vamos substituir essas coordenadas na fórmula da distância.

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dentro da raiz:
  1. d(P, X) = raiz(3t - 2)^2 + (5t - 6)^2 + (2t - 1)^2 permanece como está.
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos expandir cada quadrado:
  1. d(P, X) = raiz9t^2 - 12t + 4 + 25t^2 - 60t + 36 + 4t^2 - 4t + 1
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Vamos somar os termos semelhantes:
  • d(P, X) = raiz38t^2 - 76t + 41
Então, a expressão fica:

Resposta

Portanto, a distância entre o ponto d(P, X) = raiz38t^2 - 76t + 41 e qualquer ponto na reta é:

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