1. (1, 0 0) Considere a equação:
(m*x + n*y) dx + (p*x + q*y) dy = 0, (x, y) em Omega
em que Ω é o semiplano y > 0 ; m, n, p e q são constantes dadas e n = -p. Suponha, ainda, m > 0 e q > 0.
1/(m*x^2 + q*y^2) é um fator integrante da equação (1)éçã
(b) Utilizando o item (a), resolva a equação
(x+y) dx + (-x+y) dy = 0, y > 0

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
onde Ω é o semiplano , e as constantes satisfazem , e . A questão está dividida em duas partes:
a) Provar que é um fator integrante da equação dada.
b) Usar esse fator integrante para resolver a equação específica:
Vamos precisar entender sobre fatores integrantes e equações diferenciais exatas para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um fator integrante. Em equações diferenciais, um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, torna a equação exata. Uma equação é exata se pode ser escrita como a derivada total de alguma função .
Então, para provar que é um fator integrante da equação dada, vamos multiplicar a equação original por esse fator e verificar se a equação resultante é exata.

Passo 3

Multiplicando a equação original por , temos:
Agora, vamos chamar:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Primeiro, note que .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, calculando :
Primeiro, .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, para a equação ser exata, precisamos que:
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Como denominadores são iguais, igualamos os numeradores:
Simplificando, observamos que aparece nos dois lados, então podemos cancelar:
Rearranjando os termos:
Factorizando:
Dado que , substituímos:
Simplificando:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira, o que significa que é realmente um fator integrante para a equação original.

Passo 6

Agora que sabemos que é um fator integrante, vamos usá-lo para resolver a equação específica dada na parte (b):
Aqui, identificamos:
Primeiro, multiplicamos a equação por um fator integrante que torne a equação exata. Como a parte (a) mostrou, para a equação geral, o fator integrante é . Mas aqui, precisamos verificar qual fator integrar.
Na nossa equação específica, os coeficientes são:
E sabemos que , o que satisfaz a condição dada. Então, o fator integrante é:
Multiplicando a equação original por mu(x, y):
Agora, verificamos se a equação é exata:
Calculamos e . Pelo que demonstramos na parte (a), essa equação já é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Vamos dividir a fração:
A primeira parte é a derivada de e a segunda parte é a derivada de com relação a .
Integrando:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando com a equação dada, concluímos que , então é uma constante.

Passo 8

Portanto, a solução geral da equação exata é:
Onde é uma constante arbitrária. Podemos escrever a solução de forma mais simples:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante arbitrária.

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