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Considere a equação:
em que
é o semiplano
e
são constantes dadas e
. Suponha, ainda,
e
.
(b) Utilizando o item (a), resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
onde
é o semiplano
, e as constantes satisfazem
,
e
. A questão está dividida em duas partes:
a) Provar que
é um fator integrante da equação dada.
b) Usar esse fator integrante para resolver a equação específica:
Vamos precisar entender sobre fatores integrantes e equações diferenciais exatas para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um fator integrante. Em equações diferenciais, um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, torna a equação exata. Uma equação é exata se pode ser escrita como a derivada total de alguma função
.
Então, para provar que
é um fator integrante da equação dada, vamos multiplicar a equação original por esse fator e verificar se a equação resultante é exata.
Passo 3
Multiplicando a equação original por
, temos:
Agora, vamos chamar:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Primeiro, note que
.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, calculando
:
Primeiro,
.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, para a equação ser exata, precisamos que:
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Como denominadores são iguais, igualamos os numeradores:
Simplificando, observamos que
aparece nos dois lados, então podemos cancelar:
Rearranjando os termos:
Factorizando:
Dado que
, substituímos:
Simplificando:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira, o que significa que
é realmente um fator integrante para a equação original.
Passo 6
Agora que sabemos que
é um fator integrante, vamos usá-lo para resolver a equação específica dada na parte (b):
Aqui, identificamos:
Primeiro, multiplicamos a equação por um fator integrante que torne a equação exata. Como a parte (a) mostrou, para a equação geral, o fator integrante é
. Mas aqui, precisamos verificar qual fator integrar.
Na nossa equação específica, os coeficientes são:
E sabemos que
, o que satisfaz a condição dada. Então, o fator integrante é:
Multiplicando a equação original por
:
Agora, verificamos se a equação é exata:
Calculamos
e
. Pelo que demonstramos na parte (a), essa equação já é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Vamos dividir a fração:
A primeira parte é a derivada de
e a segunda parte é a derivada de
com relação a
.
Integrando:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com a equação dada, concluímos que
, então
é uma constante.
Passo 8
Portanto, a solução geral da equação exata é:
Onde
é uma constante arbitrária. Podemos escrever a solução de forma mais simples:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Os elementos do par ordenado (
) que são soluções do sistema abaixo tem por soma e produto respectivamente os números:
11) Determinar o conjunto verdade da equação
:
12) A solução da equação é:
a)
b)
c)
d)
e)
11) Determinar o conjunto verdade da equação
12) A solução da equação
a)
b)
c)
d)
e)
Dadas as frações, represente-as na forma decimal e, quando necessário, use quatro casas decimais.
g)
g)
O valor da expressão
é:
a)
b)
5) (UNIP-SP) O valor da expressão numérica é:
6) O valor da expressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
5) (UNIP-SP) O valor da expressão numérica
6) O valor da expressão
a)
b)
c)
d)
e)
Resolva o sistema: