O valor do seno de 10 é um número racional? (Sugestão Use a expressão do em termos de sen para obter um polinômio de grau 3, com coeficientes inteiros, tendo sen(10) como raiz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta se o valor do seno de 10 graus é um número racional. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria, especificamente a fórmula para em termos de . Isso vai nos ajudar a montar um polinômio de terceiro grau com coeficientes inteiros, onde será uma das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o seno de três vezes um ângulo:
Essa fórmula nos diz como expressar o seno de três vezes um ângulo em termos do seno do ângulo original.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com . Assim, temos:
Sabemos que , então substituímos na equação:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para deixar tudo igual a zero:
Para eliminar o denominador, multiplicamos todos os termos por 2:
Esse é o polinômio de terceiro grau que mencionamos, com como raiz.

Passo 5

Agora, vamos analisar esse polinômio: , onde . Se fosse um número racional, então esse polinômio teria uma raiz racional. Mas, segundo o Teorema das Raízes Racionais, as únicas possíveis raízes racionais seriam frações que dividem o termo constante (1) pelo coeficiente líder (8), ou seja, , , , . Testando essas possibilidades, nenhuma delas satisfaz a equação.

Passo 6

Como não existem raízes racionais para esse polinômio e é uma raiz desse polinômio, concluímos que não é um número racional. Portanto, o valor do seno de 10 graus é irracional.

Resposta

O valor do seno de 10 graus não é um número racional; é irracional.

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