O valor do seno de 10 é um número racional? (Sugestão Use a expressão do
em termos de sen
para obter um polinômio de grau 3, com coeficientes inteiros, tendo sen(10) como raiz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta se o valor do seno de 10 graus é um número racional. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria, especificamente a fórmula para
em termos de
. Isso vai nos ajudar a montar um polinômio de terceiro grau com coeficientes inteiros, onde
será uma das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o seno de três vezes um ângulo:
Essa fórmula nos diz como expressar o seno de três vezes um ângulo em termos do seno do ângulo original.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula com
. Assim, temos:
Sabemos que
, então substituímos na equação:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa equação para deixar tudo igual a zero:
Para eliminar o denominador, multiplicamos todos os termos por 2:
Esse é o polinômio de terceiro grau que mencionamos, com
como raiz.
Passo 5
Agora, vamos analisar esse polinômio:
, onde
. Se
fosse um número racional, então esse polinômio teria uma raiz racional. Mas, segundo o Teorema das Raízes Racionais, as únicas possíveis raízes racionais seriam frações que dividem o termo constante (1) pelo coeficiente líder (8), ou seja,
,
,
,
. Testando essas possibilidades, nenhuma delas satisfaz a equação.
Passo 6
Como não existem raízes racionais para esse polinômio e
é uma raiz desse polinômio, concluímos que
não é um número racional. Portanto, o valor do seno de 10 graus é irracional.
Resposta
O valor do seno de 10 graus não é um número racional;
é irracional.
Exercícios relacionados
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. Seja
, então
.
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
d)
d)
Determine e represente geometricament o domínio da função
.
Considere a equação
. Resolva a equação exata resultante para solucionar a equação original.