Considere a equação
y''(t) + 16 y(t) = 0
(b) Resolva o PVI com y(0) = 1 e y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo e precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea . Para isso, montamos a equação característica associada:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Aqui, encontramos raízes complexas, o que significa que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 4

A solução geral para o caso de raízes complexas é:
No nosso caso, e , então a solução fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:

Passo 6

Segunda condição: .
Primeiro, vamos derivar a solução geral:
Agora, substituindo :

Passo 7

Com os valores de e encontrados, a solução particular que atende às condições iniciais é:

Resposta

A solução do PVI é .

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converge. Calcule a integral para esse valor de C.