Considere a equação
(b) Resolva o PVI com
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
e precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea
. Para isso, montamos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Aqui, encontramos raízes complexas, o que significa que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 4
A solução geral para o caso de raízes complexas
é:
No nosso caso,
e
, então a solução fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
na solução geral:
Passo 6
Segunda condição:
.
Primeiro, vamos derivar a solução geral:
Agora, substituindo
:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular que atende às condições iniciais é:
Resposta
A solução do PVI é
.
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Resolva o problema de valor inicial.
(d)
(d)
Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(d)
(d)
Encontre a solução geral:
(d)
(d)
converge. Calcule a integral para esse valor de
.