Resolva o problema de valor inicial.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos. A gente tem uma equação diferencial do tipo primeira ordem:
E a condição inicial é
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Para isso, precisamos identificar os coeficientes e encontrar o fator que vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos todos os termos por
(assumindo que
):
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Usamos propriedades dos logaritmos e da exponenciação para simplificar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Reescrevemos a equação como a derivada de
:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Aqui, usamos integração por partes para resolver
.
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 9
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(d)
(d)
(UFMG) O valor da expressão
é:
a) .
b) .
c) .
d)
a)
b)
c)
d)
Considere a equação
(b) Resolva o PVI com
e
Encontre a solução geral:
(d)
(d)