integral0^infty(1raizx^2+4-Cx+2) d x
converge. Calcule a integral para esse valor de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral:
integral0^infty(1raizx^2+4-Cx+2) d x
O objetivo é descobrir para qual valor de essa integral vai convergir, ou seja, vai ter um valor finito. Depois de achar esse , a gente precisa calcular o valor da integral. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e comportamento de funções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral convergir. Como o limite superior é infinito, precisamos verificar se a expressão dentro da integral diminui rapidinho o suficiente quando 1raizx^2+4 - Cx+2 cresce, para que a área sob a curva não fique infinita.
Olha só, a função dentro da integral é:
Pra garantir que a integral não exploda quando vai pra infinito, a gente precisa que o termo dominante (o que mais cresce ou mais decresce) se anule. Isso vai ajudar a controlar o comportamento da função.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função quando 1raizx^2 + 4 approx 1x se aproxima de infinito. Isso significa que Cx + 2 approx Cx é muito grande, então podemos simplificar as expressões.
Primeiro, considere 1x - Cx = 1 - Cx . Para grande, , então:
Agora, olhe para . Para grande, , então:
Então, a expressão dentro da integral para grande fica aproximadamente:

Passo 4

Para que a integral 1 - C = 0 converja, o termo que multiplica C = 1 precisa desaparecer, porque a integral de de até infinito diverge (fica infinita).
Ou seja, queremos que:
Resolvendo essa equação:
Então, para , a parte que poderia fazer a integral divergir some, garantindo que a integral original converja.

Passo 5

Agora que sabemos que integral0^infty(1raizx^2+4 - 1x+2) dx , vamos calcular a integral:
integral 1raizx^2 + 4 dx = ln(x + raizx^2 + 4) + C
Para resolver essa integral, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, integramos integral 1x + 2 dx = ln|x + 2| + C :
A integral de [ ln(x + raizx^2 + 4) - ln(x + 2) ]0^infty é . Aqui, , então:
Segundo, integramos :
A integral de é . Aqui, , então:
Agora, juntando tudo e aplicando os limites de 0 a infinito:

Passo 6

Vamos avaliar os limites.
Para ln 2 + ln x - ln x = ln 2 indo para infinito:
  • ln 2 - 0 = ln 2
Então, a diferença fica:
Para :
Então, a diferença é .
Logo, a integral definida é:

Resposta

A integral converge para quando .

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