converge. Calcule a integral para esse valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral:
O objetivo é descobrir para qual valor de
essa integral vai convergir, ou seja, vai ter um valor finito. Depois de achar esse
, a gente precisa calcular o valor da integral. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e comportamento de funções no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral convergir. Como o limite superior é infinito, precisamos verificar se a expressão dentro da integral diminui rapidinho o suficiente quando
cresce, para que a área sob a curva não fique infinita.
Olha só, a função dentro da integral é:
Pra garantir que a integral não exploda quando
vai pra infinito, a gente precisa que o termo dominante (o que mais cresce ou mais decresce) se anule. Isso vai ajudar a controlar o comportamento da função.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de infinito. Isso significa que
é muito grande, então podemos simplificar as expressões.
Primeiro, considere
. Para
grande,
, então:
Agora, olhe para
. Para
grande,
, então:
Então, a expressão dentro da integral para
grande fica aproximadamente:
Passo 4
Para que a integral
converja, o termo que multiplica
precisa desaparecer, porque a integral de
de
até infinito diverge (fica infinita).
Ou seja, queremos que:
Resolvendo essa equação:
Então, para
, a parte que poderia fazer a integral divergir some, garantindo que a integral original converja.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, integramos
:
A integral de
é
. Aqui,
, então:
Segundo, integramos
:
A integral de
é
. Aqui,
, então:
Agora, juntando tudo e aplicando os limites de 0 a infinito:
Passo 6
Vamos avaliar os limites.
Para
indo para infinito:
Então, a diferença fica:
Para
:
Então, a diferença é
.
Logo, a integral definida é:
Resposta
A integral converge para
quando
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral:
(d)
(d)
Considere a equação
(b) Resolva o PVI com
e
Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
(a)
(a)
Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
(b)
(b)