Considere as equações dadas a seguir:
I. y = 2 x - cos x
II. y = x^3 - 2x - 5
Utilize precisão epsilon = 10^(-2) e realize seus cálculos com 6 casas decimais. Determine a raiz da segunda equação pelo método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica pra achar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem . A gente vai precisar da derivada da função e seguir alguns passos iterativos até chegar numa resposta com a precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
Queremos encontrar tal que .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função, que é necessária para o Método de Newton:
Essa derivada nos ajuda a saber como a função está mudando em torno de um ponto .

Passo 4

Escolhemos um valor inicial . Um bom chute inicial pode ser , porque , que está perto de zero.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular :

Passo 6

Repetimos o processo para :

Passo 7

Vamos verificar a diferença entre e :
Como a diferença é menor que , podemos parar aqui.

Resposta

A raiz da equação pelo Método de Newton é aproximadamente .

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