Calcule a raiz da equação
, localizada no intervalo [1.5; 2], usando os métodos da bisseção e de Newton. Considere
.
Passo 1
Vamos resolver a equação
no intervalo [1,5; 2]. Para isso, vamos usar dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método de Newton. Esses métodos são ótimos para encontrar raízes de equações quando não conseguimos resolver de forma algébrica. Precisaremos entender como cada método funciona e aplicar uma tolerância de
para determinar quando parar as iterações.
Passo 2
Método da Bisseção:
O método da bisseção é um método simples que funciona dividindo repetidamente um intervalo em duas metades e selecionando a metade que contém a raiz. Para que o método funcione, a função deve mudar de sinal no intervalo inicial, ou seja,
.
Primeiro, definimos a função:
Verificamos os valores nos extremos do intervalo:
Calculando:
Como
, sabemos que há uma raiz no intervalo [1,5; 2].
Passo 3
Aplicamos o método da bisseção:
- Calculamos o ponto médio do intervalo:
-
Avaliamos
: - Se
, a raiz está no intervalo [a; c]. - Se
, a raiz está no intervalo [c; b].
- Se
-
Repetimos o processo até que a largura do intervalo seja menor que
.
Vamos iniciar:
Iteração 1:
Como
é negativo, a raiz está no intervalo [1,75; 2].
Iteração 2:
A raiz está no intervalo [1,875; 2].
Iteração 3:
Agora,
é positivo, então a raiz está no intervalo [1,875; 1,9375].
Iteração 4:
A raiz está no intervalo [1,90625; 1,9375].
Iteração 5:
A raiz está no intervalo [1,921875; 1,9375].
Iteração 6:
A raiz está no intervalo [1,9296875; 1,9375].
Iteração 7:
Agora, a diferença entre
e
é menor que
, então paramos.
Passo 4
Método de Newton-Raphson:
O método de Newton é um método iterativo que usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula para a próxima iteração é:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Escolhemos um valor inicial
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Como
, paramos aqui.
Resposta
A raiz da equação
no intervalo [1,5; 2] é aproximadamente
.