Calcule a raiz da equação (x/2)^2 - sen(x) = 0, localizada no intervalo [1.5; 2], usando os métodos da bisseção e de Newton. Considere epsilon = 10^(-3).

Passo 1

Vamos resolver a equação no intervalo [1,5; 2]. Para isso, vamos usar dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método de Newton. Esses métodos são ótimos para encontrar raízes de equações quando não conseguimos resolver de forma algébrica. Precisaremos entender como cada método funciona e aplicar uma tolerância de para determinar quando parar as iterações.

Passo 2

Método da Bisseção:
O método da bisseção é um método simples que funciona dividindo repetidamente um intervalo em duas metades e selecionando a metade que contém a raiz. Para que o método funcione, a função deve mudar de sinal no intervalo inicial, ou seja, .
Primeiro, definimos a função:
Verificamos os valores nos extremos do intervalo:
Calculando:
Como , sabemos que há uma raiz no intervalo [1,5; 2].

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção:
  1. Calculamos o ponto médio do intervalo:
  1. Avaliamos :
    • Se , a raiz está no intervalo [a; c].
    • Se , a raiz está no intervalo [c; b].
  2. Repetimos o processo até que a largura do intervalo seja menor que .
Vamos iniciar:
Iteração 1:
Como é negativo, a raiz está no intervalo [1,75; 2].
Iteração 2:
A raiz está no intervalo [1,875; 2].
Iteração 3:
Agora, é positivo, então a raiz está no intervalo [1,875; 1,9375].
Iteração 4:
A raiz está no intervalo [1,90625; 1,9375].
Iteração 5:
A raiz está no intervalo [1,921875; 1,9375].
Iteração 6:
A raiz está no intervalo [1,9296875; 1,9375].
Iteração 7:
Agora, a diferença entre e é menor que , então paramos.

Passo 4

Método de Newton-Raphson:
O método de Newton é um método iterativo que usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula para a próxima iteração é:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Escolhemos um valor inicial .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Como , paramos aqui.

Resposta

A raiz da equação no intervalo [1,5; 2] é aproximadamente .

Exercícios relacionados