Sobre a função y = x + 5 ln(x) - 2, responda o que se pede: Qual é o valor da raiz obtida usando o método da bisseção, com precisão de 10^(-2) e calculando com arrendondamento na sexta casa decimal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método da bisseção. Esse método ajuda a encontrar raízes de funções contínuas dividindo um intervalo onde a função muda de sinal. Para isso, vamos precisar calcular intervalos onde muda de positivo para negativo ou vice-versa e continuar refinando esse intervalo até chegar na precisão desejada de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal. Vamos testar alguns valores de :
  • Quando :
  • Quando :
Como é negativo em e positivo em , sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até atingir a precisão desejada.
Iteração 1:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1 e 1,5.
Iteração 2:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1 e 1,25.
Iteração 3:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,125 e 1,25.
Iteração 4:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,125 e 1,1875.
Iteração 5:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,15625 e 1,1875.
Iteração 6:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,171875 e 1,1875.
Iteração 7:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,171875 e 1,1796875.

Passo 4

Continuando com mais uma iteração para atingir a precisão de :
Iteração 8:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,17578125 e 1,1796875.
Iteração 9:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,177734375 e 1,1796875.
Iteração 10:
  • ,
  • Calculando em :
  • Como , a raiz está entre 1,177734375 e 1,1787109375.

Resposta

A raiz da função aproximada pelo método da bisseção com precisão de é .

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