Considere as equações que regem o movimento em um escoamento axi-simétrico:
partial vzpartial z+1r partialpartial r(r vr)=0 partial vzpartial t+vr partial vzpartial r+vz partial vzpartial z=-1rho partial ppartial z+v(1r partialpartial r(r partial vzpartial r)+partial^2 vzpartial z^2) partial vrpartial t+vr partial vrpartial r+vz partial vrpartial z=-1rho partial ppartial r+v(1r partialpartial r(r partial vrpartial r)+partial^2 vrpartial z^2+vrr^2)
Discuta se o escoamento é compressível ou incompressível, se o fluido é newtoniano ou não-newtoniano, se o regime é permanente ou transiente e se a dissipação viscosa é considerada. Justifique as respostas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente recebeu um conjunto de equações que descrevem o movimento em um escoamento axi-simétrico. Nosso trabalho é analisar essas equações para descobrir:
  1. O escoamento é compressível ou incompressível?
  2. O fluido é newtoniano ou não-newtoniano?
  3. O regime é permanente (steady) ou transiente?
  4. A dissipação viscosa está sendo considerada?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cada um desses conceitos e ver como eles aparecem nas equações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre escoamento compressível ou incompressível.
  • Escoamento Compressível: A densidade do fluido muda significativamente durante o movimento.
  • Escoamento Incompressível: A densidade do fluido permanece constante.
Na equação da continuidade que temos:
partial vzpartial z + 1r partialpartial r(r vr) = 0
Perceba que não tem termos envolvendo a variação da densidade, o que sugere que estamos assumindo que a densidade $ \rho $ é constante. Isso indica que o escoamento é incompressível.

Passo 3

Agora, vamos entender se o fluido é newtoniano ou não-newtoniano.
  • Fluido Newtoniano: A viscosidade é constante e a tensão de cisalhamento é linearmente proporcional à taxa de deformação.
  • Fluido Não-Newtoniano: A viscosidade pode variar com a taxa de deformação ou o tempo.
Olhando para as equações de movimento, especialmente os termos viscosos:
v(1r partialpartial r(r partial vzpartial r) + partial^2 vzpartial z^2)
Esses termos são lineares nas derivadas de velocidade, o que caracteriza um fluido newtoniano, já que a viscosidade está sendo aplicada de forma linear.

Passo 4

Vamos agora verificar se o regime é permanente ou transiente.
  • Regime Permanente (Steady): As variáveis não mudam com o tempo.
  • Regime Transiente: As variáveis mudam com o tempo.
Observando as equações, temos termos como:
partial vzpartial t e partial vrpartial t
Esses termos de derivada temporal indicam que as velocidades $ v_z $ e $ v_r $ estão mudando com o tempo. Portanto, o regime é transiente.

Passo 5

Por último, vamos ver se a dissipação viscosa está sendo considerada.
A dissipação viscosa está relacionada aos termos que envolvem a viscosidade e as derivadas de velocidade, que representam a perda de energia devido à fricção interna do fluido.
Nas equações de movimento, esses termos aparecem claramente:
v(1r partialpartial r(r partial vzpartial r) + partial^2 vzpartial z^2) e v(1r partialpartial r(r partial vrpartial r) + partial^2 vrpartial z^2 + vrr^2)
Esses termos mostram que a viscosidade está sendo considerada na modelagem do escoamento, ou seja, a dissipação viscosa está incluída.

Resposta

Resumindo:
  1. Escoamento Incompressível – A densidade é constante.
  2. Fluido Newtoniano – A viscosidade atua de forma linear.
  3. Regime Transiente – As velocidades mudam com o tempo.
  4. Dissipação Viscosa Considerada – Termos viscosos estão presentes nas equações.

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