Questão (2,0pt). Considerando um escoamento completamente desenvolvido de óleo Castor a 20^circ C entre placas paralelas, com a placa superior movendo a U=1,5 m / s e o espaçamento entre as placas é de a =2,5 mm. Determine:
b. 0 gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção x. (1.o)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o fluxo desenvolvido de óleo Castor a 20°C entre duas placas paralelas. A placa de cima está se movendo a 1,5 m/s, e a distância entre as placas é de 2,5 mm. Nosso objetivo aqui é encontrar qual deve ser o gradiente de pressão ($ \frac{dp}{dx} $) para que não haja fluxo líquido na direção $ x $. Ou seja, queremos equilibrar a força causada pelo movimento da placa com a força do gradiente de pressão para que nada flua. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre fluxo entre placas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o fluxo entre duas placas paralelas pode ser causado por duas coisas: o movimento de uma das placas (que chamamos de fluxo de Couette) e um gradiente de pressão aplicado (chamado de fluxo de Poiseuille). No nosso caso, temos os dois agindo ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos considerar que a velocidade do fluxo devido à movimentação da placa de cima é $ u_c(y) = U \cdot \frac{y}{a} $, onde:
  • $ U = 1,5 , m/s $ é a velocidade da placa de cima,
  • $ y $ é a posição vertical entre as placas (0 no fundo e $ a = 0,0025 , m $ na parte de cima).

Passo 4

Por outro lado, o fluxo devido ao gradiente de pressão é dado por $ u_p(y) = \frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dx} y(a - y) $, onde:
  • $ \mu $ é a viscosidade do óleo Castor.

Passo 5

Para que não haja fluxo resultante, a soma desses dois fluxos deve ser zero em todas as posições entre as placas:
uc(y) + up(y) = 0
U cdot ya + 12mu dpdx y(a - y) = 0

Passo 6

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ y $ (já que $ y \neq 0 $ nas placas):
y

Passo 7

Agora, isolamos o gradiente de pressão ($ \frac{dp}{dx} $):
dpdx
12mu dpdx (a - y) = -Ua

Passo 8

Para encontrar o gradiente de pressão que impede o fluxo, devemos considerar o equilíbrio em toda a altura entre as placas. Geralmente, tomamos a média ou consideramos o ponto onde o efeito é constante. Simplificando, podemos considerar que o gradiente de pressão necessário é:
dpdx = -2mu Ua^2

Passo 9

Agora, precisamos saber o valor da viscosidade ($ \mu $) do óleo Castor a 20°C. Supondo que $ \mu = 0,89 , Pa·s $ (esse valor pode variar dependendo da fonte, então é bom verificar), substituímos na fórmula:
mu

Passo 10

Calculando:
dpdx = -2 times 0,89 times 1,50,00000625
dpdx = -2,670,00000625
dpdx = -427200 , Pa/m

Resposta

O gradiente de pressão necessário para que não haja vazão na direção $ x $ é de aproximadamente $ -4,27 \times 10^{5} , Pa/m $.

Exercícios relacionados