Considere um escoamento bidimensional em um canal com profundidade h. Assumindo um perfil de velocidade logarítmico dado pela equação:
vu*=5,75 log (30 zvarepsilon) (ver Problema 2.5)
na qual z é uma ordenada medida a partir do fundo do canal e v é a velocidade pontual, demonstre que:
a) v média cong v0,4 hé, isto é, a velocidade média é aproximadamente a velocidade a 40 % da profundidade da seção, medida a partir do fundo.
b) v média cong 1 / 2(v0,2 h+v0,8 h)é, isto é, a velocidade média é aproximadamente a média aritmética entre as velocidades medidas a 20 % e 80 % da profundidade.
Repita a aplicação adotando um perfil de velocidade parabólico com as seguintes condições:
a) Se z=0 v=0
b) Se z=h v=v máx á
c) Se z=h d vd z=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um fluxo bidimensional em um canal com profundidade $ h $ e um perfil de velocidade logarítmico dado pela equação:
h
Aqui, $ z $ é a altura medida a partir do fundo do canal, $ v $ é a velocidade pontual, e $ u_* $ e $ \varepsilon $ são constantes relacionadas ao escoamento. A matéria envolve conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente perfis de velocidade em canais. Vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir desse perfil e comparar com velocidades em pontos específicos da profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média $ v_{média} $ em um fluxo bidimensional é dada pela integral da velocidade pontual sobre a profundidade, dividida pela profundidade total $ h $:
vmédia é
Essa fórmula nos dá a média de todas as velocidades ao longo da profundidade.

Passo 3

Como temos um perfil logarítmico, vamos substituir $ v(z) $ pela equação fornecida:
v(z)
Agora, substituímos isso na expressão da velocidade média:
v(z) = u* cdot 5,75 log(30 zvarepsilon) é

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ \xi = \frac{z}{h} $, então $ z = \xi h $ e $ dz = h d\xi $. Assim, os limites de integração mudam de $ z = 0 $ para $ \xi = 0 $ e $ z = h $ para $ \xi = 1 $:
xi = zh é
O $ h $ no numerador e denominador cancela:
z = xi h é

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral. Podemos separar o logaritmo:
log(30 xi hvarepsilon) = log(30 hvarepsilon) + log(xi)
Portanto:
vmédia = 5,75 u* [ log(30 hvarepsilon) integral0^1 dxi + integral0^1 log(xi) , dxi ] é
Calculando as integrais:
integral0^1 dxi = 1
integral0^1 log(xi) , dxi = -1
Assim:
vmédia = 5,75 u* [ log(30 hvarepsilon) - 1 ] é

Passo 6

Agora, para encontrar $ v_{0,4 h} $, que é a velocidade a 40% da profundidade, substituímos $ z = 0,4 h $ na equação do perfil:
v0,4 h

Passo 7

Para comparar $ v_{média} $ com $ v_{0,4 h} $, observamos que:
vmédia é
v0,4 h
Notamos que as expressões são aproximadamente iguais, pois:
vmédia = 5,75 u* [ log(30 hvarepsilon) - 1 ]
Isso demonstra que $ v_{média} \cong v_{0,4 h} $.

Passo 8

Agora, vamos abordar a parte b) da questão, onde queremos mostrar que a velocidade média é aproximadamente a média aritmética entre as velocidades a 20% e 80% da profundidade.
Primeiro, calculamos $ v_{0,2 h} $ e $ v_{0,8 h} $:
v0,2 h
v0,8 h

Passo 9

A média aritmética dessas velocidades é:
v0,2 h + v0,8 h2 = 5,75 u* log(6 hvarepsilon) + 5,75 u* log(24 hvarepsilon)2
Fatorando $ 5,75 u_* $:
5,75 u*
Usando a propriedade dos logaritmos $ \log a + \log b = \log(ab) $:
= 5,75 u* cdot log(6 hvarepsilon) + log(24 hvarepsilon)2
log a + log b = log(ab)

Passo 10

Comparando com $ v_{média} $:
vmédia é
Isso mostra que $ v_{média} \cong \frac{1}{2}(v_{0,2 h} + v_{0,8 h}) $.

Passo 11

Agora, vamos repetir a aplicação para um perfil de velocidade parabólico com as seguintes condições:
a) Se $ z = 0 $, então $ v = 0 $
b) Se $ z = h $, então $ v = v_{máx} $
c) Se $ z = h $, então $ \frac{d v}{d z} = 0 $
Para um perfil parabólico, a equação geral é:
z = 0 á

Passo 12

Vamos calcular a velocidade média para o perfil parabólico:
vmédia = 1h integral0^h v(z) , dz = vmáxh integral0^h (1 - (zh)^2) dz éá
Fazendo a substituição $ \xi = \frac{z}{h} $, temos $ dz = h d\xi $:
xi = zh éáá

Passo 13

Calculando a integral:
integral0^1 (1 - xi^2) dxi = [xi - xi^33]0^1 = 1 - 13 = 23
Portanto:
vmédia = vmáx cdot 23 éá

Passo 14

Agora, vamos calcular $ v_{0,4 h} $, a velocidade a 40% da profundidade:
v0,4 h ááá

Passo 15

Comparando $ v_{média} $ com $ v_{0,4 h} $:
vmédia éáááá
Embora não seja exatamente igual, é uma aproximação razoável para mostrar que a velocidade média está próxima da velocidade a 40% da profundidade.

Passo 16

Para a parte b) com o perfil parabólico, queremos mostrar que:
vmédia cong 12(v0,2 h + v0,8 h) é
Calculamos $ v_{0,2 h} $ e $ v_{0,8 h} $:
v0,2 h ááá
v0,8 h ááá

Passo 17

A média aritmética dessas velocidades é:
v0,2 h + v0,8 h2 = 0,96 vmáx + 0,36 vmáx2 = 1,32 vmáx2 = 0,66 vmáx áááá
Comparando com $ v_{média} = \frac{2}{3} v_{máx} \approx 0,666 v_{máx} $, vemos que:
vmédia = 23 vmáx approx 0,666 vmáx é

Resposta

A velocidade média $ v_{média} $ é aproximadamente igual à velocidade a 40% da profundidade ($ v_{0,4 h} vmédia éééé \frac{1}{2}(v_{0,2 h} + v_{0,8 h}) $). Além disso, para um perfil de velocidade parabólico, a velocidade média também se aproxima dessas relações.

Exercícios relacionados