Considere um escoamento bidimensional em um canal com profundidade h. Assumindo um perfil de velocidade logarítmico dado pela equação:
(ver Problema 2.5)
na qual
é uma ordenada medida a partir do fundo do canal e v é a velocidade pontual, demonstre que:
a)
, isto é, a velocidade média é aproximadamente a velocidade a
da profundidade da seção, medida a partir do fundo.
b)
, isto é, a velocidade média é aproximadamente a média aritmética entre as velocidades medidas a
e
da profundidade.
Repita a aplicação adotando um perfil de velocidade parabólico com as seguintes condições:
a)
b) Se
c) Se
na qual
a)
b)
Repita a aplicação adotando um perfil de velocidade parabólico com as seguintes condições:
a)
b) Se
c) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um fluxo bidimensional em um canal com profundidade $ h $ e um perfil de velocidade logarítmico dado pela equação:
Aqui, $ z $ é a altura medida a partir do fundo do canal, $ v $ é a velocidade pontual, e $ u_* $ e $ \varepsilon $ são constantes relacionadas ao escoamento. A matéria envolve conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente perfis de velocidade em canais. Vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir desse perfil e comparar com velocidades em pontos específicos da profundidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média $ v_{média} $ em um fluxo bidimensional é dada pela integral da velocidade pontual sobre a profundidade, dividida pela profundidade total $ h $:
Essa fórmula nos dá a média de todas as velocidades ao longo da profundidade.
Passo 3
Como temos um perfil logarítmico, vamos substituir $ v(z) $ pela equação fornecida:
Agora, substituímos isso na expressão da velocidade média:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ \xi = \frac{z}{h} $, então $ z = \xi h $ e $ dz = h d\xi $. Assim, os limites de integração mudam de $ z = 0 $ para $ \xi = 0 $ e $ z = h $ para $ \xi = 1 $:
O $ h $ no numerador e denominador cancela:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral. Podemos separar o logaritmo:
Portanto:
Calculando as integrais:
Assim:
Passo 6
Agora, para encontrar $ v_{0,4 h} $, que é a velocidade a 40% da profundidade, substituímos $ z = 0,4 h $ na equação do perfil:
Passo 7
Para comparar $ v_{média} $ com $ v_{0,4 h} $, observamos que:
Notamos que as expressões são aproximadamente iguais, pois:
Isso demonstra que $ v_{média} \cong v_{0,4 h} $.
Passo 8
Agora, vamos abordar a parte b) da questão, onde queremos mostrar que a velocidade média é aproximadamente a média aritmética entre as velocidades a 20% e 80% da profundidade.
Primeiro, calculamos $ v_{0,2 h} $ e $ v_{0,8 h} $:
Passo 9
A média aritmética dessas velocidades é:
Fatorando $ 5,75 u_* $:
Usando a propriedade dos logaritmos $ \log a + \log b = \log(ab) $:
Passo 10
Comparando com $ v_{média} $:
Isso mostra que $ v_{média} \cong \frac{1}{2}(v_{0,2 h} + v_{0,8 h}) $.
Passo 11
Agora, vamos repetir a aplicação para um perfil de velocidade parabólico com as seguintes condições:
a) Se $ z = 0 $, então $ v = 0 $
b) Se $ z = h $, então $ v = v_{máx} $
c) Se $ z = h $, então $ \frac{d v}{d z} = 0 $
Para um perfil parabólico, a equação geral é:
Passo 12
Vamos calcular a velocidade média para o perfil parabólico:
Fazendo a substituição $ \xi = \frac{z}{h} $, temos $ dz = h d\xi $:
Passo 13
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 14
Agora, vamos calcular $ v_{0,4 h} $, a velocidade a 40% da profundidade:
Passo 15
Comparando $ v_{média} $ com $ v_{0,4 h} $:
Embora não seja exatamente igual, é uma aproximação razoável para mostrar que a velocidade média está próxima da velocidade a 40% da profundidade.
Passo 16
Para a parte b) com o perfil parabólico, queremos mostrar que:
Calculamos $ v_{0,2 h} $ e $ v_{0,8 h} $:
Passo 17
A média aritmética dessas velocidades é:
Comparando com $ v_{média} = \frac{2}{3} v_{máx} \approx 0,666 v_{máx} $, vemos que:
Resposta
A velocidade média $ v_{média} $ é aproximadamente igual à velocidade a 40% da profundidade ($ v_{0,4 h}
\frac{1}{2}(v_{0,2 h} + v_{0,8 h}) $). Além disso, para um perfil de velocidade parabólico, a velocidade média também se aproxima dessas relações.