Problema 10.7 [Potter] Um escoamento uniforme ocorre em um canal trapezoidal com Z1=Z2=1,75. O canal deve comportar uma descarga de 4,0 m^3 / s, com uma velocidade média de 1,4 m / s. Se n=0,015 e I0=0,001, determinar a largura do leito e a profundidade uniforme. Resolver utilizando a fórmula de Bháskara.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de hidráulica juntos! A gente tem um canal trapezoidal com certos parâmetros e precisa descobrir a largura do leito e a profundidade da água. Para isso, vamos usar conceitos de escoamento uniforme e aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação que surge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escoamento uniforme. Isso quer dizer que a velocidade da água e a profundidade permanecem constantes ao longo do canal. Temos a descarga e a velocidade média .

Passo 3

Sabemos que a descarga Q = A times V é dada pela fórmula:
A = QV = 4,01,4 approx 2,857 , m^2
onde é a área da seção transversal do fluxo. Vamos rearranjar para encontrar :

Passo 4

O canal é trapezoidal, então a área A = b times y + Z y^2 pode ser expressa como:
V = 1n R^2/3 S^1/2
onde:
  • é a largura do leito que queremos encontrar,
  • é a profundidade da água que também precisamos determinar,
  • é o coeficiente das laterais, que aqui é 1,75.
Como temos duas incógnitas ( e ), precisamos de outra equação para resolver o sistema. Podemos usar a relação de perda de carga de Manning:
onde:
  • é o coeficiente de rugosidade,
  • é o raio hidráulico,
  • é a declividade do canal.

Passo 5

Vamos calcular o raio hidráulico P = b + 2 y raiz1 + Z^2 . Primeiro, precisamos do perímetro molhado P = b + 2 y raiz1 + (1,75)^2 approx b + 2 y times 1,8028 approx b + 3,6056 y :
Substituindo :
Agora,

Passo 6

Voltando à equação de Manning:
V = 1n R^2/3 S^1/2
Substituindo 1,4 = 10,015 ( 2,857b + 3,6056 y )^2/3 times raiz0,001 , , e que encontramos:
Vamos simplificar essa equação para facilitar.

Passo 7

Primeiro, isolamos a expressão com 1,4 = 10,015 ( 2,857b + 3,6056 y )^2/3 times 0,03162 :
1,4 = 10,015 times 0,03162 times ( 2,857b + 3,6056 y )^2/3
Multiplicando os coeficientes:
1,4 approx 2,108 times ( 2,857b + 3,6056 y )^2/3

Passo 8

Agora, vamos elevar ambos os lados ao expoente ( 1,42,108 )^3/2 = 2,857b + 3,6056 y para eliminar o expoente fracionário:
( 0,665 )^1,5 approx 0,542
Calculando o lado esquerdo:
0,542 approx 2,857b + 3,6056 y
Então:
b + 3,6056 y approx 2,8570,542 approx 5,27
Rearranjando:
b approx 5,27 - 3,6056 y
Então:

Passo 9

Agora, temos duas equações:
  1. (5,27 - 3,6056 y) y + 1,75 y^2 = 2,857
  2. 5,27 y - 3,6056 y^2 + 1,75 y^2 = 2,857
Substituindo a segunda na primeira:
5,27 y - 1,8556 y^2 = 2,857
Distribuindo:
1,8556 y^2 - 5,27 y + 2,857 = 0
Combinando os termos de :
Rearranjando para formar uma equação quadrática:

Passo 10

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • De
  • y = 5,27 pm raiz6,55192 times 1,8556 approx 5,27 pm 2,5593,7112
  • y approx 5,27 + 2,5593,7112 approx 7,8293,7112 approx 2,108 , m
Calculando o discriminante:
Então:
Desconsideramos a solução negativa, então:

Passo 11

Com a profundidade b approx 5,27 - 3,6056 times 2,108 approx 5,27 - 7,601 approx -2,331 , m , podemos encontrar a largura do leito:
Como a largura não pode ser negativa, devemos verificar os cálculos. Parece que houve um erro nos passos anteriores. Vamos refazer o Passo 10 com mais cuidado.

Passo 12

Vamos recalcular:
De
raizDe
Então:
y = 5,27 pm 2,5593,7112
Primeira solução:
y = 5,27 + 2,5593,7112 approx 7,8293,7112 approx 2,108 , m
Segunda solução:
y = 5,27 - 2,5593,7112 approx 2,7113,7112 approx 0,73 , m
Vamos considerar a segunda solução , pois faz mais sentido para a largura do leito.

Passo 13

Com b approx 5,27 - 3,6056 times 0,73 approx 5,27 - 2,631 = 2,639 , m , calculamos a largura do leito:

Resposta

A largura do leito é aproximadamente e a profundidade uniforme é aproximadamente .

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