Problema 10.7 [Potter] Um escoamento uniforme ocorre em um canal trapezoidal
. O canal deve comportar uma descarga de
, com uma velocidade média de
. Se
e
, determinar a largura do leito e a profundidade uniforme. Resolver utilizando a fórmula de Bháskara.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de hidráulica juntos! A gente tem um canal trapezoidal com certos parâmetros e precisa descobrir a largura do leito e a profundidade da água. Para isso, vamos usar conceitos de escoamento uniforme e aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação que surge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escoamento uniforme. Isso quer dizer que a velocidade da água e a profundidade permanecem constantes ao longo do canal. Temos a descarga
e a velocidade média
.
Passo 3
Sabemos que a descarga
é dada pela fórmula:
onde
é a área da seção transversal do fluxo. Vamos rearranjar para encontrar
:
Passo 4
O canal é trapezoidal, então a área
pode ser expressa como:
onde:
-
é a largura do leito que queremos encontrar, -
é a profundidade da água que também precisamos determinar, -
é o coeficiente das laterais, que aqui é 1,75.
Como temos duas incógnitas (
e
), precisamos de outra equação para resolver o sistema. Podemos usar a relação de perda de carga de Manning:
onde:
-
é o coeficiente de rugosidade, -
é o raio hidráulico, -
é a declividade do canal.
Passo 5
Vamos calcular o raio hidráulico
. Primeiro, precisamos do perímetro molhado
:
Substituindo
:
Agora,
Passo 6
Voltando à equação de Manning:
Substituindo
,
,
e
que encontramos:
Vamos simplificar essa equação para facilitar.
Passo 7
Primeiro, isolamos a expressão com
:
Multiplicando os coeficientes:
Passo 8
Agora, vamos elevar ambos os lados ao expoente
para eliminar o expoente fracionário:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Rearranjando:
Então:
Passo 9
Agora, temos duas equações:
Substituindo a segunda na primeira:
Distribuindo:
Combinando os termos de
:
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Passo 10
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante:
Então:
Desconsideramos a solução negativa, então:
Passo 11
Com a profundidade
, podemos encontrar a largura do leito:
Como a largura não pode ser negativa, devemos verificar os cálculos. Parece que houve um erro nos passos anteriores. Vamos refazer o Passo 10 com mais cuidado.
Passo 12
Vamos recalcular:
Então:
Primeira solução:
Segunda solução:
Vamos considerar a segunda solução
, pois faz mais sentido para a largura do leito.
Passo 13
Com
, calculamos a largura do leito:
Resposta
A largura do leito é aproximadamente
e a profundidade uniforme é aproximadamente
.