Em um experimento de laboratório instalou-se, na parede vertical de um canal de
de profundidade, 5 tomadas de pressão igualmente espaçadas na vertical, de 5 cm , a partir da superfície livre. Os valores das cargas de pressão medidas estão na tabela abaixo, em
. Determine:
a) a força sobre a parede do canal por unidade de comprimento;
b) a relação entre a força determinada experimentalmente e aquela que se obteria adotando-se uma distribuição de pressão hidrostática.
a) a força sobre a parede do canal por unidade de comprimento;
b) a relação entre a força determinada experimentalmente e aquela que se obteria adotando-se uma distribuição de pressão hidrostática.
Distância a partir da <br> superfície livre, cm | Carga de pressão em <br>
|
---|---|
0 | 0 |
5 | 51 |
10 | 105 |
15 | 160 |
20 | 215 |
25 | 275 |
a)
; b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um experimento onde foram medidas cargas de pressão em diferentes profundidades numa parede de um canal. Vamos precisar entender de estática dos fluidos, especialmente sobre pressão hidrostática e como calcular a força exercida pela água na parede do canal. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa força por unidade de comprimento na parede do canal. A força total exercida pela água na parede é distribuída ao longo da altura do canal. Para encontrar essa força por metro de comprimento da parede, precisamos integrar a distribuição de pressão ao longo da profundidade.
A pressão hidrostática em um fluido em repouso é dada por:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ \rho $ é a densidade do fluido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a profundidade.
Passo 3
No experimento, temos medidas de pressão em diferentes alturas. Vamos usar esses valores para calcular a força. A força diferencial $ dF $ em uma faixa de profundidade $ dh $ é:
Onde $ b $ é a largura do canal (que vamos considerar como 1 metro para força por unidade de comprimento).
Vamos somar todas as forças diferenciais para obter a força total:
Onde $ P_i $ são as pressões medidas e $ \Delta h $ é a variação de altura entre as medições.
Passo 4
Vamos organizar os dados:
Distância (cm) | Pressão (mmH₂O) |
---|---|
0 | 0 |
5 | 51 |
10 | 105 |
15 | 160 |
20 | 215 |
25 | 275 |
A variação de altura entre cada medição é de 5 cm (ou 0,05 m). Precisamos converter a pressão de mmH₂O para N/m² (Pascal). Sabemos que:
Então, multiplicamos cada pressão por 9,80665 para converter.
Passo 5
Vamos calcular a força em cada faixa de 5 cm:
-
0-5 cm:
- Pressão média: $ (0 + 51) / 2 = 25,5 , mmH_2O $
- Força: $ 25,5 \times 9,80665 \times 0,05 = 12,48 , N/m $
-
5-10 cm:
- Pressão média: $ (51 + 105) / 2 = 78 , mmH_2O $
- Força: $ 78 \times 9,80665 \times 0,05 = 38,33 , N/m $
-
10-15 cm:
- Pressão média: $ (105 + 160) / 2 = 132,5 , mmH_2O $
- Força: $ 132,5 \times 9,80665 \times 0,05 = 65,04 , N/m $
-
15-20 cm:
- Pressão média: $ (160 + 215) / 2 = 187,5 , mmH_2O $
- Força: $ 187,5 \times 9,80665 \times 0,05 = 92,52 , N/m $
-
20-25 cm:
- Pressão média: $ (215 + 275) / 2 = 245 , mmH_2O $
- Força: $ 245 \times 9,80665 \times 0,05 = 120,08 , N/m $
Passo 6
Agora, somamos todas as forças das faixas:
Arredondando, temos aproximadamente 327,56 N/m.
Resposta
a) A força sobre a parede do canal por unidade de comprimento é aproximadamente $ \mathbf{F = 327,56 , \mathrm{N/m}} $.