Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade , com e . As coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto no instante . Compare-a com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes $t=0,1 e 2 s .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade onde , e . A parada é traçar a trajetória de uma partícula que passa pelo ponto no instante e comparar com as linhas de corrente nesse ponto nos tempos , e segundos. Para isso, vamos precisar entender como integrar o campo de velocidade para achar a trajetória e como desenhar as linhas de corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a trajetória de uma partícula em um campo de velocidade é dada pelas equações diferenciais:
Aqui, nosso e . Vamos substituir os valores de , e :

Passo 3

Agora, vamos resolver a primeira equação para :
Integrando ambos os lados em relação a :
Como no instante , :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Temos a equação:
Essa é uma equação diferencial que pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para :
Como no instante , :
Então:

Passo 5

Pronto, agora temos a trajetória da partícula:
Isso nos mostra como a posição e da partícula mudam com o tempo. Agora vamos comparar isso com as linhas de corrente no ponto nos tempos , e segundos.

Passo 6

As linhas de corrente em um tempo específico mostram a direção do fluxo naquele instante. Para cada tempo , vamos substituir os valores na equação do campo de velocidade e desenhar a linha de corrente correspondente no ponto .
Para :
Isso significa que no , a linha de corrente é uma linha horizontal passando por .
Para :
Aqui, a direção da corrente está inclinada, mostrando que a partícula está se movendo tanto na direção quanto na .
Para :
A inclinação aumenta ainda mais com o aumento de , indicando que a velocidade na direção e cresce com o tempo.

Resposta

A trajetória da partícula que passou pelo ponto no instante é dada por:
Comparando com as linhas de corrente no ponto nos instantes e :
  • Em , a linha de corrente é horizontal.
  • Em , a linha de corrente está inclinada, com velocidade na direção e .
  • Em , a inclinação da linha de corrente aumenta ainda mais, refletindo o aumento das velocidades em ambas as direções.

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Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, deduza a força necessária para puxar a placa central à velocidade .
Resp.:
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a) Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b) Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
(as quantidades a e b são constantes)