Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade V=A(1+B t) imath+C t y jmath, com A=1 m / s, B=1 s^-1 e C=1 s^-2. As coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante t=0. Compare-a com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes $t=0,1 e 2 s .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade onde , e . A parada é traçar a trajetória de uma partícula que passa pelo ponto no instante e comparar com as linhas de corrente nesse ponto nos tempos , e segundos. Para isso, vamos precisar entender como integrar o campo de velocidade para achar a trajetória e como desenhar as linhas de corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a trajetória de uma partícula em um campo de velocidade dxdt = Vx é dada pelas equações diferenciais:
dydt = Vy
Vx = 1 times (1 + 1 times t) = 1 + t
Aqui, nosso Vy = 1 times t times y = t y e . Vamos substituir os valores de , e :

Passo 3

Agora, vamos resolver a primeira equação para dxdt = 1 + t :
x(t) = integral (1 + t) , dt = t + t^22 + C1
Integrando ambos os lados em relação a 1 = 0 + 0 + C1 implies C1 = 1 :
x(t) = t + t^22 + 1
Como no instante , :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos resolver para dydt = t y . Temos a equação:
dyy = t , dt
Essa é uma equação diferencial que pode ser resolvida separando as variáveis:
ln|y| = t^22 + C2
Integrando ambos os lados:
y(t) = e^t^22 + C2 = e^C2 e^t^22 = C3 e^t^22
Exponenciando para resolver para 1 = C3 e^0 implies C3 = 1 :
y(t) = e^t^22
Como no instante , :
Então:

Passo 5

Pronto, agora temos a trajetória da partícula:
x(t) = 1 + t + t^22
y(t) = e^t^22
Isso nos mostra como a posição e da partícula mudam com o tempo. Agora vamos comparar isso com as linhas de corrente no ponto nos tempos , e segundos.

Passo 6

As linhas de corrente em um tempo específico mostram a direção do fluxo naquele instante. Para cada tempo V = 1(1 + 1 times 0) imath + 1 times 0 times 1 jmath = imath , vamos substituir os valores na equação do campo de velocidade e desenhar a linha de corrente correspondente no ponto V = 1(1 + 1 times 1) imath + 1 times 1 times 1 jmath = 2 imath + jmath .
Para V = 1(1 + 1 times 2) imath + 1 times 2 times 1 jmath = 3 imath + 2 jmath :
Isso significa que no , a linha de corrente é uma linha horizontal passando por .
Para :
Aqui, a direção da corrente está inclinada, mostrando que a partícula está se movendo tanto na direção quanto na .
Para :
A inclinação aumenta ainda mais com o aumento de , indicando que a velocidade na direção e cresce com o tempo.

Resposta

A trajetória da partícula que passou pelo ponto x(t) = 1 + t + t^22 no instante y(t) = e^t^22 é dada por:
Comparando com as linhas de corrente no ponto nos instantes e :
  • Em , a linha de corrente é horizontal.
  • Em , a linha de corrente está inclinada, com velocidade na direção e .
  • Em , a inclinação da linha de corrente aumenta ainda mais, refletindo o aumento das velocidades em ambas as direções.

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