Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade
, com
e
. As coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto
no instante
. Compare-a com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes $t=0,1 e 2 s .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade
onde
,
e
. A parada é traçar a trajetória de uma partícula que passa pelo ponto
no instante
e comparar com as linhas de corrente nesse ponto nos tempos
,
e
segundos. Para isso, vamos precisar entender como integrar o campo de velocidade para achar a trajetória e como desenhar as linhas de corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a trajetória de uma partícula em um campo de velocidade
é dada pelas equações diferenciais:
Aqui, nosso
e
. Vamos substituir os valores de
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a primeira equação para
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Como no instante
,
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Temos a equação:
Essa é uma equação diferencial que pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para
:
Como no instante
,
:
Então:
Passo 5
Pronto, agora temos a trajetória da partícula:
Isso nos mostra como a posição
e
da partícula mudam com o tempo. Agora vamos comparar isso com as linhas de corrente no ponto
nos tempos
,
e
segundos.
Passo 6
As linhas de corrente em um tempo específico mostram a direção do fluxo naquele instante. Para cada tempo
, vamos substituir os valores na equação do campo de velocidade e desenhar a linha de corrente correspondente no ponto
.
Para
:
Isso significa que no
, a linha de corrente é uma linha horizontal passando por
.
Para
:
Aqui, a direção da corrente está inclinada, mostrando que a partícula está se movendo tanto na direção
quanto na
.
Para
:
A inclinação aumenta ainda mais com o aumento de
, indicando que a velocidade na direção
e
cresce com o tempo.
Resposta
A trajetória da partícula que passou pelo ponto
no instante
é dada por:
Comparando com as linhas de corrente no ponto
nos instantes
e
:
- Em
, a linha de corrente é horizontal. - Em
, a linha de corrente está inclinada, com velocidade na direção e . - Em
, a inclinação da linha de corrente aumenta ainda mais, refletindo o aumento das velocidades em ambas as direções.
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e
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Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, deduza a força necessária para puxar a placa central à velocidade
.
Resp.:
Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, deduza a força
Resp.:
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a) Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b) Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
(as quantidades a e b são constantes)
a) Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b) Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
(as quantidades a e b são constantes)