Você pretende colocar cuidadosamente algumas agulhas de aço sobre a superficie livre da água em um grande tanque. As agulhas vêm em dois comprimentos: algumas com 6 cm e outras com 12 cm de comprimento, e estão disponiveis nos diâmetros de 2 mm, 3,5 mm e 6 mm . Faça uma previsão de quais agulhas irão flutuar, se é que alguma delas flutuará.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre colocar agulhas de aço na água e descobrir quais delas vão flutuar. Para isso, vamos usar conceitos de densidade e tensão superficial da água. Precisamos saber o comprimento e o diâmetro das agulhas para calcular se a força da água consegue segurar a agulha ou se ela vai afundar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade ( ) de um material indica se ele flutua ou afunda na água. A água tem densidade de aproximadamente , enquanto o aço tem uma densidade maior, cerca de . Normalmente, objetos com densidade maior que a água afundam.

Passo 3

Mas tem um detalhe: mesmo objetos com densidade maior podem flutuar se forem finos o suficiente para que a tensão superficial da água suporte seu peso. A tensão superficial é como se fosse uma “pele” na água que pode segurar objetos leves ou finos.

Passo 4

Vamos calcular a força que a tensão superficial pode exercer. A força de tensão superficial ( Ft = 2 cdot sigma cdot L ) é dada por:
onde é a tensão superficial da água ( ) e é o comprimento da agulha que está em contato com a água.

Passo 5

Agora, vamos calcular o peso da agulha ( Fp = m cdot g = rho cdot V cdot g ):
onde:
  • ,
  • é o volume da agulha,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o raio da agulha,
  • é o comprimento da agulha.

Passo 6

Para a agulha flutuar, a força da tensão superficial precisa ser maior ou igual ao peso da agulha:
2 cdot sigma cdot L >= rho cdot pi r^2 L cdot g
Simplificando, podemos cancelar 2 cdot sigma >= rho cdot pi r^2 cdot g e reescrever a desigualdade:

Passo 7

Vamos isolar r^2 <= 2 cdot sigmarho cdot pi cdot g :
r <= raiz2 cdot 0,0727800 cdot 3,1416 cdot 9,81
r <= raiz0,144240,995 approx raiz0,000598 approx 0,024 , m = 2,4 , cm
Calculando isso:

Passo 8

Agora, sabemos que o raio máximo para que a agulha possa flutuar é de aproximadamente 2 , mm = 0,2 , cm; 3,5 , mm = 0,35 , cm; 6 , mm = 0,6 , cm . Mas as agulhas têm diâmetros de , e . Vamos converter tudo para a mesma unidade, metros:
Como , a agulha de 6 mm de diâmetro tem raio de , que é menor que , então ela pode flutuar.

Passo 9

As agulhas de diâmetro e têm raios menores que , então também podem flutuar. O comprimento (6 cm ou 12 cm) não interfere diretamente na capacidade de flutuação, já que cancelou na equação.

Resposta

Todas as agulhas com diâmetros de , e irão flutuar na água.

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