Você pretende colocar cuidadosamente algumas agulhas de aço sobre a superficie livre da água em um grande tanque. As agulhas vêm em dois comprimentos: algumas com 6 cm e outras com 12 cm de comprimento, e estão disponiveis nos diâmetros de
e 6 mm . Faça uma previsão de quais agulhas irão flutuar, se é que alguma delas flutuará.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre colocar agulhas de aço na água e descobrir quais delas vão flutuar. Para isso, vamos usar conceitos de densidade e tensão superficial da água. Precisamos saber o comprimento e o diâmetro das agulhas para calcular se a força da água consegue segurar a agulha ou se ela vai afundar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade (
) de um material indica se ele flutua ou afunda na água. A água tem densidade de aproximadamente
, enquanto o aço tem uma densidade maior, cerca de
. Normalmente, objetos com densidade maior que a água afundam.
Passo 3
Mas tem um detalhe: mesmo objetos com densidade maior podem flutuar se forem finos o suficiente para que a tensão superficial da água suporte seu peso. A tensão superficial é como se fosse uma “pele” na água que pode segurar objetos leves ou finos.
Passo 4
Vamos calcular a força que a tensão superficial pode exercer. A força de tensão superficial (
) é dada por:
onde
é a tensão superficial da água (
) e
é o comprimento da agulha que está em contato com a água.
Passo 5
Agora, vamos calcular o peso da agulha (
):
onde:
-
, -
é o volume da agulha, -
é a aceleração da gravidade, -
é o raio da agulha, -
é o comprimento da agulha.
Passo 6
Para a agulha flutuar, a força da tensão superficial precisa ser maior ou igual ao peso da agulha:
Simplificando, podemos cancelar
e reescrever a desigualdade:
Passo 7
Vamos isolar
:
Calculando isso:
Passo 8
Agora, sabemos que o raio máximo para que a agulha possa flutuar é de aproximadamente
. Mas as agulhas têm diâmetros de
,
e
. Vamos converter tudo para a mesma unidade, metros:
Como
, a agulha de 6 mm de diâmetro tem raio de
, que é menor que
, então ela pode flutuar.
Passo 9
As agulhas de diâmetro
e
têm raios menores que
, então também podem flutuar. O comprimento (6 cm ou 12 cm) não interfere diretamente na capacidade de flutuação, já que cancelou na equação.
Resposta
Todas as agulhas com diâmetros de
,
e
irão flutuar na água.