Considere o escoamento de um fluido compressível em uma tubulação cilíndrica. O fluido entra na tubulação a uma temperatura constante ( Te ) e a vizinhança do sistema (trocador de calor) encontra-se a temperatura constante (TW). Logo, pode ocorrer o resfriamento/aquecimento do fluido. Baseado nas considerações, apresentadas a seguir, obtenha as equações diferenciais que descrevem o processo. (i) regime permanente; (ii) escoamento laminar; (iii) variação de energia cinética e potencial desprezível; (iv) Condutividade térmica e calor específico são funções lineares da temperatura; (v) não ocorre mudança de fase.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações diferenciais que descrevem o escoamento de um fluido compressível numa tubulação cilíndrica, considerando várias condições específicas. A matéria aqui envolve mecânica dos fluidos e transferência de calor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de massa e energia, além de entender como a temperatura do fluido varia ao longo do escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o regime permanente. Isso significa que todas as propriedades do fluxo (como velocidade, temperatura, etc.) não mudam com o tempo. Ou seja, o sistema está em equilíbrio e as variáveis dependem apenas da posição ao longo da tubulação.

Passo 3

Agora, vamos assumir que o escoamento é laminar. Escoamento laminar é aquele onde as partículas do fluido se movem em camadas paralelas, sem mistura turbulenta. Isso simplifica as equações porque podemos desprezar os efeitos turbulentos e focar apenas na viscosidade do fluido.

Passo 4

Também estamos considerando que a variação de energia cinética e potencial é desprezível. Isso quer dizer que a energia associada ao movimento do fluido e à posição na tubulação não influencia significativamente o balanço de energia. Simplificando, focamos apenas na energia interna e no calor transferido.

Passo 5

A condutividade térmica ( ) e o calor específico ( ) são funções lineares da temperatura ( ). Isso significa que podemos expressar e como:
Onde são constantes.

Passo 6

Além disso, não ocorre mudança de fase no fluido. Ou seja, o fluido permanece no mesmo estado (líquido ou gasoso) durante todo o escoamento, o que simplifica ainda mais o balanço de energia, já que não precisamos considerar calor latente.

Passo 7

Vamos usar a equação de conservação de energia para derivar a equação diferencial. Em regime permanente e escoamento laminar, a variação de calor ao longo da tubulação é igual ao calor transferido com o ambiente. A equação geral fica:
Onde:
  • é a densidade do fluido,
  • é a velocidade do fluido,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área de superfície da tubulação,
  • é a temperatura da vizinhança.
Como estamos em regime permanente, , e substituindo e , vamos ajustar a equação para obter a relação diferencial.

Resposta

A equação diferencial que descreve o processo é:
Onde é o diâmetro da tubulação. Essa equação relaciona a variação da temperatura do fluido ao longo da tubulação considerando as condições e suposições dadas.

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