(1,5 ponto) Uma equação importante para quantidade de movimento é a equação de Euller
em que
é a massa específica,
é a velocidade do fluido,
a pressão e t o tempo. Para uma equação dimensionalmente consistente, quais são as dimensões de
e
? Quais as unidades convenientes para
e
no sistema internacional e inglês.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta a equação de Euler para quantidade de movimento:
Aqui,
é a massa específica,
é a velocidade do fluido,
é a pressão e
é o tempo. O que precisamos descobrir são as dimensões de
e
para que a equação seja dimensionalmente consistente, ou seja, que todas as partes da equação tenham as mesmas dimensões. Além disso, vamos encontrar as unidades convenientes para
e
nos sistemas internacional e inglês.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma equação ser dimensionalmente consistente, todas as parcelas devem ter as mesmas dimensões. Vamos analisar cada termo da equação.
Passo 3
Começando pelo lado esquerdo da equação:
Onde:
-
é a massa específica com dimensões . -
representa a aceleração com dimensões .
Multiplicando as dimensões:
Então, o lado esquerdo tem dimensões
.
Passo 4
Agora, olhemos para o primeiro termo do lado direito:
Sabemos que
tem dimensões
e que todo o lado direito deve ter as mesmas dimensões que o lado esquerdo, ou seja,
. Portanto:
Para que isso seja verdade,
deve ter dimensões de
.
Passo 5
Agora, analisamos o segundo termo do lado direito:
A diferença de pressão,
, tem dimensões de pressão
. Novamente, queremos que o produto
tenha as mesmas dimensões que o lado esquerdo,
. Então:
Isso implica que
deve ter dimensões de
.
Passo 6
Agora que temos as dimensões, vamos encontrar as unidades convenientes para
e
nos sistemas de unidade internacional (SI) e inglês.
Para
com dimensões
:
- SI: metro por segundo ao quadrado (
) - Inglês: pés por segundo ao quadrado (
)
Para
com dimensões
:
- SI: inverso de metro (
) - Inglês: inverso de pé (
)
Resposta
As dimensões de
são
e as de
são
. As unidades convenientes para
são metros por segundo ao quadrado (
) no sistema internacional e pés por segundo ao quadrado (
) no sistema inglês. Para
, as unidades são inverso de metro (
) no sistema internacional e inverso de pé (
) no sistema inglês.