(1,5 ponto) Uma equação importante para quantidade de movimento é a equação de Euller
rho D VD t=a rho-b De
em que rho é a massa específica, V é a velocidade do fluido, P a pressão e t o tempo. Para uma equação dimensionalmente consistente, quais são as dimensões de a e b ? Quais as unidades convenientes para a e b no sistema internacional e inglês.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta a equação de Euler para quantidade de movimento:
rho D VD t=a rho - b De
Aqui, rho é a massa específica, V é a velocidade do fluido, P é a pressão e t é o tempo. O que precisamos descobrir são as dimensões de a e b para que a equação seja dimensionalmente consistente, ou seja, que todas as partes da equação tenham as mesmas dimensões. Além disso, vamos encontrar as unidades convenientes para a e b nos sistemas internacional e inglês.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação ser dimensionalmente consistente, todas as parcelas devem ter as mesmas dimensões. Vamos analisar cada termo da equação.

Passo 3

Começando pelo lado esquerdo da equação:
rho D VD t
Onde:
  • rho é a massa específica com dimensões [M L^-3].
  • D VD t representa a aceleração com dimensões [L T^-2].
Multiplicando as dimensões:
[M L^-3] times [L T^-2] = [M L^-2 T^-2]
Então, o lado esquerdo tem dimensões [M L^-2 T^-2].

Passo 4

Agora, olhemos para o primeiro termo do lado direito:
a rho
Sabemos que rho tem dimensões [M L^-3] e que todo o lado direito deve ter as mesmas dimensões que o lado esquerdo, ou seja, [M L^-2 T^-2]. Portanto:
a times [M L^-3] = [M L^-2 T^-2]
Para que isso seja verdade, a deve ter dimensões de [L T^-2].

Passo 5

Agora, analisamos o segundo termo do lado direito:
b De
A diferença de pressão, De, tem dimensões de pressão [M L^-1 T^-2]. Novamente, queremos que o produto b De tenha as mesmas dimensões que o lado esquerdo, [M L^-2 T^-2]. Então:
b times [M L^-1 T^-2] = [M L^-2 T^-2]
Isso implica que b deve ter dimensões de [L^-1].

Passo 6

Agora que temos as dimensões, vamos encontrar as unidades convenientes para a e b nos sistemas de unidade internacional (SI) e inglês.
Para a com dimensões [L T^-2]:
  • SI: metro por segundo ao quadrado ( m/s^2)
  • Inglês: pés por segundo ao quadrado ( ft/s^2)
Para b com dimensões [L^-1]:
  • SI: inverso de metro ( m^-1)
  • Inglês: inverso de pé ( ft^-1)

Resposta

As dimensões de a são [L T^-2] e as de b são [L^-1]. As unidades convenientes para a são metros por segundo ao quadrado ( m/s²²) no sistema internacional e pés por segundo ao quadrado ( ft/s²²) no sistema inglês. Para b, as unidades são inverso de metro ( m^-1) no sistema internacional e inverso de pé ( ft^-1) no sistema inglês.

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