Um fio de cobre de 0,040 in de diâmetro está isolado uniformemente com plástico a um diâmetro externo de 0,12 in e está exposto a um ambiente a 100^circ F. 0 coeficiente de transferência de calor da superficie externa do plástico é 1,5 Btu / h ft^2 F. Qual a corrente permanente, em ampéres, que o fio pode transportar sem aquecer qualquer porção do plástico acima da temperatura limite de operação de 200^circ F.
Dados: K sobre =220 Btu / h ft F ; K plastico =0,20 Btu / h ft F; K ecobre =5,1 ohm^-1 cm^-1; K epliatico =0,0 ohm^-1 cm^-1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio de cobre com diâmetro interno de 0,040 polegadas, isolado uniformemente com plástico até um diâmetro externo de 0,12 polegadas. Esse sistema está exposto a um ambiente a 100°F. Queremos descobrir qual a corrente elétrica máxima (em ampéres) que esse fio pode transportar sem que a temperatura do plástico ultrapasse 200°F.
Conteúdo da matéria: Transferência de calor por condução e convecção, resistência térmica em sistemas de camadas concêntricas, e relação entre potência elétrica e corrente.
O que vamos precisar para resolver:
  • Fórmulas de condução de calor em cilindros.
  • Fórmula de transferência de calor por convecção.
  • Relação entre potência elétrica, corrente e resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas pelas quais o calor será transferido:
  1. Condução no cobre: O calor gerado pela corrente elétrica no fio de cobre se propaga por condução através do próprio fio.
  2. Condução no plástico: Depois, esse calor passa pelo isolamento de plástico.
  3. Convecção na superfície externa do plástico: Finalmente, o calor é dissipado para o ambiente por convecção.

Passo 3

Vamos calcular a resistência térmica total do sistema. A resistência térmica impede a transferência de calor e depende das propriedades dos materiais e das dimensões do sistema.
A resistência térmica total ( Rtotal = Rcobre + Rplástico + Rconvecção ) é a soma das resistências térmicas de cada camada:
áçã

Passo 4

1. Resistência térmica do cobre ( R = ln(r2/r1)2pi K L ):
A resistência térmica para condução em um cilindro é dada por:
Rcobre = ln(0,060 / 0,020)2pi times 220 = ln(3)2pi times 220
Onde:
  • Rcobre approx 1,09861382,297 approx 0,000795 , (h·ft²·F)/Btu e são os raios interno e externo do cilindro.
  • é a condutividade térmica.
  • é o comprimento (como não foi dado, vamos considerar um comprimento unitário, pois ele se cancela posteriormente).
Convertendo os diâmetros para raios:
  • Diâmetro interno do cobre: 0,040 in → raio in
  • Diâmetro externo do plástico: 0,12 in → raio in
Usando Btu/(h·ft·F):
Calculando:
²

Passo 5

2. Resistência térmica do plástico ( Rplástico = ln(r3/r2)2pi K L á):
Usando a mesma fórmula:
Rplástico = ln(r2/r1)2pi times 0,20 á
Onde:
  • Rplástico = ln(0,12 / 0,040)2pi times 0,20 = ln(3)2pi times 0,20 é o raio externo do plástico (0,060 in)
  • Rplástico approx 1,09861,2566 approx 0,874 , (h·ft²·F)/Btu é o próximo raio, mas como não há mais camadas, consideramos
No entanto, parece que há apenas uma camada de plástico, então usando os dados:
á Btu/(h·ft·F)
á
Mas, na verdade, devemos considerar que o plástico está de 0,040 in a 0,12 in:
á
Calculando:
á²

Passo 6

3. Resistência térmica da convecção ( Rconvecção = 1h A çã):
A resistência térmica para convecção é dada por:
A = 2pi rexterna L çã
Onde:
  • A = 2pi times 0,01 times 1 = 0,0628 , ft² Btu/(h·ft²·F) é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • Rconvecção = 11,5 times 0,0628 approx 10,0942 approx 10,61 , (h·F)/Btu é a área superficial do plástico.
Calculando a área de um cilindro:
Assumindo ft para simplificar:
Convertendo polegadas para pés: 0,12 in = 0,01 ft
²
Então:
çã

Passo 7

Resistência térmica total:
Rtotal = Rcobre + Rplástico + Rconvecção approx 0,000795 + 0,874 + 10,61 approx 11,485 , (h·ft²·F)/Btu áçã²

Passo 8

Agora, relacionamos a potência dissipada ( P = De) com a diferença de temperatura ( P = 10011,485 approx 8,7 , Btu/h ) e a resistência térmica total:
Onde:

Passo 9

Converter Btu/h para Watts para facilitar o uso da relação com corrente elétrica:
1 , Btu/h approx 0,293 , W
P approx 8,7 times 0,293 approx 2,55 , W

Passo 10

Agora, relacionamos a potência elétrica com a corrente usando a fórmula:
P = I^2 R
Precisamos encontrar R = rho LA , mas para isso, primeiro encontramos a resistência elétrica do fio.
Resistência elétrica do fio de cobre ( r = 0,0402 = 0,020 , in = 0,020 times 2,54 = 0,0508 , cm ):
A resistência elétrica de um fio é dada por:
A = pi times (0,0508)^2 approx 0,0081 , cm²
Onde:
  • R = 0,196 times 30,480,0081 approx 5,9770,0081 approx 737,3 , ohms é a resistividade elétrica (recíproco da condutividade):
  • ohm⁻¹·cm⁻¹ → ohm·cm
  • ft = 30,48 cm
  • Área da seção transversal
Convertendo diâmetros para raios:
²
Então:

Passo 11

Agora, usamos 2,55 = I^2 times 737,3 para encontrar I^2 = 2,55737,3 approx 0,00346 :
I = raiz0,00346 approx 0,0588 , A

Resposta

A corrente permanente máxima que o fio pode transportar sem exceder a temperatura limite é aproximadamente 0,059 ampéres.

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