Considere um escoamento laminar entre duas placas paralelas estacionárias, afastadas de 2a, com o fluido escoando da esquerda para a direita. Determine o perfil de velocidade e a vazão volumétrica (Q) utilizando a Equaçâo de Navier-Stokes. Obs.; Considerar simetria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas, com a distância entre elas sendo . O fluido está se movendo da esquerda para a direita. Nosso objetivo é encontrar o perfil de velocidade do fluido e a vazão volumétrica usando a Equação de Navier-Stokes. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente escoamentos laminares e a aplicação da Equação de Navier-Stokes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar as duas placas paralelas espaçadas por . Como o escoamento é laminar e as placas estão estacionárias, podemos assumir que a velocidade do fluido só varia na direção perpendicular às placas (que vamos chamar de ). Não há variação na direção do fluxo (x) nem na direção perpendicular ao fluxo, já que tudo é simétrico.

Passo 3

Agora, vamos escrever a Equação de Navier-Stokes para esse caso específico. Como o escoamento é unidimensional na direção , a equação simplifica para:
Aqui, é a viscosidade do fluido, é a velocidade na direção , e é a taxa de variação da pressão na direção .

Passo 4

Sabemos que a pressão varia ao longo do fluxo, mas como as placas são estacionárias e o escoamento é estável, essa variação é constante. Chamamos essa constante de , onde é a força de impulso por unidade de volume que impulsiona o fluido. Assim, a equação fica:

Passo 5

Vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade . Primeiro, integramos uma vez em relação a :
Aqui, é uma constante de integração.

Passo 6

Integrando de novo para encontrar :
Dividindo por :

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que nas placas (em e ), a velocidade do fluido é zero (condição de não-deriva, já que as placas estão estacionárias). Então:
Para :
Para :

Passo 8

Simplificando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, substituindo em uma das equações:

Passo 9

Agora, substituímos e na expressão de :
Esse é o perfil de velocidade do fluido entre as duas placas.

Passo 10

Para encontrar a vazão volumétrica , integramos a velocidade através da área da seção transversal. Como as placas são infinitas na direção , consideramos a largura na direção :

Passo 11

Vamos resolver a integral:
Calculando cada integral:
Então:
Como vazão volumétrica é positiva na direção do fluxo, descartamos o sinal negativo:

Resposta

O perfil de velocidade é dado por e a vazão volumétrica é .

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