Um viscosímetro de Stormer consta essencialmente de dois cilindros concêntricos, um interior que gira com velocidade angular Omega, e um externo que permanece parado. A viscosidade é determinada medindo a velocidade de rotação do cilindro interno. Deduzir uma expressão para a distribuição de velocidades para esse tipo de equipamento, para o escoamento laminar de um fluido Newtoniano e incompressível. Sabendo-se que a distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:
taur theta=-mu r dd r(vthetar)
e o torque é T= força x distância de aplicação , mostre como você calcularia a viscosidade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um viscosímetro de Stormer, que basicamente é composto por dois cilindros que compartilham o mesmo centro: um interno que gira com uma velocidade angular Omega e um externo que fica parado. O objetivo aqui é deduzir uma expressão para a distribuição de velocidades nesse sistema, considerando que o fluido é Newtoniano, incompressível e está em escoamento laminar. Além disso, vamos usar a distribuição da tensão de cisalhamento fornecida e relacionar com o torque para calcular a viscosidade. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dinâmica de fluidos, especialmente relacionados a escoamento entre cilindros concêntricos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema: temos dois cilindros concêntricos, onde o cilindro interno está girando e o externo está parado. Como o fluido é Newtoniano e incompressível, e o escoamento é laminar, podemos assumir que a velocidade do fluido varia apenas na direção radial, ou seja, depende da distância r ao centro.

Passo 3

Vamos assumir que a velocidade tangencial do fluido, vtheta, depende apenas de r. Como o fluido é incompressível e o escoamento é estacionário, a equação de conservação de momento para esse tipo de escoamento em coordenadas cilíndricas nos dá:
1r ddr( r taurtheta ) = 0
Isso implica que r taurtheta é constante. Como não há cisalhamento no cilindro externo (estático), a constante é zero, então:
taurtheta = 0
Mas isso não nos dá informação útil diretamente, então precisamos usar a expressão da tensão de cisalhamento dada.

Passo 4

A tensão de cisalhamento é fornecida por:
taurtheta = -mu r ddr( vthetar )
Como a tensão de cisalhamento taurtheta deve ser equilibrada, podemos relacionar isso com a aplicação do torque no sistema. O torque total T aplicado pelo fluido pode ser expresso como a integral da tensão de cisalhamento multiplicada pela área sobre a qual ela atua e pela distância r ao quadrado:
T = integral0^R taurtheta cdot 2pi r L cdot r , dr
Aqui, R é o raio do cilindro interno e L é o comprimento do cilindro.

Passo 5

Substituindo a expressão de taurtheta na equação do torque:
T = integral0^R ( -mu r ddr( vthetar ) ) cdot 2pi r L cdot r , dr
Simplificando:
T = -2pi mu L integral0^R r^3 ddr( vthetar ) , dr

Passo 6

Agora, vamos integrar por partes. Seja u = r^3 e dv = ddr( vthetar ) dr, então:
T = -2pi mu L [ r^3 vthetar g|0^R - integral0^R vthetar cdot 3r^2 , dr ]
Simplificando:
T = -2pi mu L [ R^2 vtheta(R) - 3 integral0^R r vtheta , dr ]
Assumindo que no cilindro externo vtheta(R) = 0 (já que ele está parado):
T = 6pi mu L integral0^R r vtheta , dr

Passo 7

Para encontrar vtheta, precisamos resolver a equação diferencial. Retornando à expressão da tensão de cisalhamento:
taurtheta = -mu r ddr( vthetar ) = constante
Como o torque está relacionado com a taxa de cisalhamento, podemos usar as condições de contorno para resolver a equação de velocidade. Após resolver a equação diferencial apropriada, obteremos a distribuição de velocidades:
vtheta(r) = Omega r ( R^2r^2 - 1 )

Resposta

A distribuição de velocidades para o viscosímetro de Stormer em escoamento laminar de um fluido Newtoniano e incompressível é dada por:
vtheta(r) = Omega r ( R^2r^2 - 1 )

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