Um viscosímetro de Stormer consta essencialmente de dois cilindros concêntricos, um interior que gira com velocidade angular , e um externo que permanece parado. A viscosidade é determinada medindo a velocidade de rotação do cilindro interno. Deduzir uma expressão para a distribuição de velocidades para esse tipo de equipamento, para o escoamento laminar de um fluido Newtoniano e incompressível. Sabendo-se que a distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:
e o torque é força x distância de aplicação , mostre como você calcularia a viscosidade.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um viscosímetro de Stormer, que basicamente é composto por dois cilindros que compartilham o mesmo centro: um interno que gira com uma velocidade angular e um externo que fica parado. O objetivo aqui é deduzir uma expressão para a distribuição de velocidades nesse sistema, considerando que o fluido é Newtoniano, incompressível e está em escoamento laminar. Além disso, vamos usar a distribuição da tensão de cisalhamento fornecida e relacionar com o torque para calcular a viscosidade. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dinâmica de fluidos, especialmente relacionados a escoamento entre cilindros concêntricos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema: temos dois cilindros concêntricos, onde o cilindro interno está girando e o externo está parado. Como o fluido é Newtoniano e incompressível, e o escoamento é laminar, podemos assumir que a velocidade do fluido varia apenas na direção radial, ou seja, depende da distância ao centro.
Passo 3
Vamos assumir que a velocidade tangencial do fluido, , depende apenas de . Como o fluido é incompressível e o escoamento é estacionário, a equação de conservação de momento para esse tipo de escoamento em coordenadas cilíndricas nos dá:
Isso implica que é constante. Como não há cisalhamento no cilindro externo (estático), a constante é zero, então:
Mas isso não nos dá informação útil diretamente, então precisamos usar a expressão da tensão de cisalhamento dada.
Passo 4
A tensão de cisalhamento é fornecida por:
Como a tensão de cisalhamento deve ser equilibrada, podemos relacionar isso com a aplicação do torque no sistema. O torque total aplicado pelo fluido pode ser expresso como a integral da tensão de cisalhamento multiplicada pela área sobre a qual ela atua e pela distância ao quadrado:
Aqui, é o raio do cilindro interno e é o comprimento do cilindro.
Passo 5
Substituindo a expressão de na equação do torque:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar por partes. Seja e , então:
Simplificando:
Assumindo que no cilindro externo (já que ele está parado):
Passo 7
Para encontrar , precisamos resolver a equação diferencial. Retornando à expressão da tensão de cisalhamento:
Como o torque está relacionado com a taxa de cisalhamento, podemos usar as condições de contorno para resolver a equação de velocidade. Após resolver a equação diferencial apropriada, obteremos a distribuição de velocidades:
Resposta
A distribuição de velocidades para o viscosímetro de Stormer em escoamento laminar de um fluido Newtoniano e incompressível é dada por: