Considere o escoamento plenamente desenvolvido dentro de uma tubulação de raio R.
Sabendo que o perfil de velocidades é dado por:
u=umax [1-(rR)^2]
em que u é a velocidade na direção z, ao longo da tubulação.
Encontre a melhor alternativa para:
a) Taxa de deformação angular no plano rz
b) Vorticidade
c) Calcule a deformação linear. O que a resposta que você obteve indica?

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre o escoamento plenamente desenvolvido em uma tubulação. O enunciado nos dá o perfil de velocidades na direção u = umax [1 - (rR)^2 ] ao longo da tubulação:
Aqui, é a velocidade na direção , é a velocidade máxima no centro da tubulação, é a distância radial do centro, e é o raio da tubulação. Vamos precisar aplicar conceitos de deformação angular, vorticidade e deformação linear para resolver as partes a), b) e c) do exercício.

Passo 2

a) Taxa de deformação angular no plano partial upartial r = partialpartial r [ umax (1 - (rR)^2 ) ] = umax ( 0 - 2 rR^2 ) = -2 umax rR^2
A taxa de deformação angular, também conhecida como taxa de cisalhamento, no plano pode ser encontrada a partir do gradiente da velocidade. No caso, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação a :
Esta derivada representa a taxa de deformação angular no plano .

Passo 3

b) Vorticidade
A vorticidade omega = nabla times u é uma medida da rotação local do fluido e é definida como o rotacional da velocidade:
omegatheta = -partial uzpartial r = -( -2 umax rR^2 ) = 2 umax rR^2
No sistema de coordenadas cilíndricas, considerando que a velocidade tem apenas a componente omega = 2 umax rR^2 theta , a vorticidade na direção (circunferencial) é dada por:
Portanto, a vorticidade é:

Passo 4

c) Deformação linear e interpretação da resposta
A deformação linear está relacionada à taxa de deformação causada pela variação da velocidade no fluxo. Podemos considerar a taxa de deformação linear como a derivada da velocidade em relação à coordenada na direção de deformação, que já calculamos na parte a):
partial upartial r = -2 umax rR^2
A magnitude da deformação linear é então:
| partial upartial r | = 2 umax rR^2
Interpretação: A deformação linear indica como a velocidade do fluido varia com a posição radial . No centro da tubulação ( ), a deformação é zero, indicando que a velocidade é máxima e não há variação. Conforme nos afastamos do centro ( aumenta), a deformação linear aumenta, mostrando que a velocidade diminui até chegar a zero na parede da tubulação ( ).

Resposta

a) \
b) \
c) A deformação linear é , indicando que a velocidade diminui linearmente à medida que nos afastamos do centro da tubulação.

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