Quais, se existir algum, dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre campos de escoamento e verificar quais deles são irrotacionais. Isso faz parte da matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente sobre rotacional de um campo vetorial. Para resolver, vamos calcular o rotacional de cada campo dado e ver se ele é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo de escoamento ser irrotacional. Um campo é irrotacional se o seu rotacional for igual a zero. No caso de um campo bidimensional com componentes e , o rotacional é dado por:
Se esse valor for zero, o campo é irrotacional.

Passo 3

Vamos verificar a opção (a):
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
Como o rotacional não é zero, o campo (a) não é irrotacional.

Passo 4

Agora, vamos para a opção (b):
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
Como o rotacional depende de e não é zero, o campo (b) não é irrotacional.

Passo 5

Vamos para a opção ©:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
A menos que , o rotacional não é zero. Portanto, o campo © não é irrotacional em geral.

Passo 6

Por fim, vamos analisar a opção (d):
Primeiro, simplificamos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
Para o rotacional ser zero, precisaríamos que , o que não é sempre verdadeiro. Portanto, o campo (d) também não é irrotacional.

Resposta

Nenhum dos campos de escoamento apresentados é irrotacional.

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