Quais, se existir algum, dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre campos de escoamento e verificar quais deles são irrotacionais. Isso faz parte da matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente sobre rotacional de um campo vetorial. Para resolver, vamos calcular o rotacional de cada campo dado e ver se ele é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo de escoamento ser irrotacional. Um campo é irrotacional se o seu rotacional for igual a zero. No caso de um campo bidimensional com componentes
e
, o rotacional
é dado por:
Se esse valor for zero, o campo é irrotacional.
Passo 3
Vamos verificar a opção (a):
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
Como o rotacional não é zero, o campo (a) não é irrotacional.
Passo 4
Agora, vamos para a opção (b):
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
Como o rotacional depende de
e não é zero, o campo (b) não é irrotacional.
Passo 5
Vamos para a opção ©:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
A menos que
, o rotacional não é zero. Portanto, o campo © não é irrotacional em geral.
Passo 6
Por fim, vamos analisar a opção (d):
Primeiro, simplificamos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
Para o rotacional ser zero, precisaríamos que
, o que não é sempre verdadeiro. Portanto, o campo (d) também não é irrotacional.
Resposta
Nenhum dos campos de escoamento apresentados é irrotacional.