Quais, se existir algum, dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
(a) u=2 x^2+y^2-x^2 y ; v=x^3+x(y^2-2 y)
(b) u=2 x y-x^2+y ; v=2 x y-y^2+x^2
© u=x t+2 y ; v=x t^2-y t
(d) u=(x+2 y) x t ; v=-(2 x+y) y t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre campos de escoamento e verificar quais deles são irrotacionais. Isso faz parte da matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente sobre rotacional de um campo vetorial. Para resolver, vamos calcular o rotacional de cada campo dado e ver se ele é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo de escoamento ser irrotacional. Um campo é irrotacional se o seu rotacional for igual a zero. No caso de um campo bidimensional com componentes nabla times F = partial vpartial x - partial upartial y e , o rotacional é dado por:
Se esse valor for zero, o campo é irrotacional.

Passo 3

Vamos verificar a opção (a):
u = 2x^2 + y^2 - x^2y v = x^3 + x(y^2 - 2y)
Calculando as derivadas parciais:
partial vpartial x = 3x^2 + y^2 - 2y partial upartial y = 2y - x^2
Então, o rotacional é:
nabla times F = (3x^2 + y^2 - 2y) - (2y - x^2) = 4x^2 + y^2 - 4y
Como o rotacional não é zero, o campo (a) não é irrotacional.

Passo 4

Agora, vamos para a opção (b):
u = 2xy - x^2 + y v = 2xy - y^2 + x^2
Calculando as derivadas parciais:
partial vpartial x = 2y + 2x partial upartial y = 2x + 1
Então, o rotacional é:
nabla times F = (2y + 2x) - (2x + 1) = 2y - 1
Como o rotacional depende de e não é zero, o campo (b) não é irrotacional.

Passo 5

Vamos para a opção ©:
u = xt + 2y v = xt^2 - yt
Calculando as derivadas parciais:
partial vpartial x = t^2 partial upartial y = 2
Então, o rotacional é:
nabla times F = t^2 - 2
A menos que , o rotacional não é zero. Portanto, o campo © não é irrotacional em geral.

Passo 6

Por fim, vamos analisar a opção (d):
u = (x + 2y)xt v = -(2x + y)yt
Primeiro, simplificamos:
u = x(x + 2y)t = x^2t + 2xy t v = -(2x + y)yt = -2xy t - y^2t
Calculando as derivadas parciais:
partial vpartial x = -2y t partial upartial y = 2x t + 2x t = 4x t
Então, o rotacional é:
nabla times F = (-2y t) - (4x t) = -2y t - 4x t = -2t(y + 2x)
Para o rotacional ser zero, precisaríamos que , o que não é sempre verdadeiro. Portanto, o campo (d) também não é irrotacional.

Resposta

Nenhum dos campos de escoamento apresentados é irrotacional.

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