A componente em da velocidade em um campo de escoamento incompressível é dada por , em que e as coordenadas são medidas em metros. A pressão no ponto é (manométrica). A massa específica é e o eixo é na vertical. Determine a componente mais simples possivel da velocidade em . Calcule a aceleração do fluido e determine o gradiente de pressão no ponto . Encontre a distribuição de pressão ao longo do eixo de positivo.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um campo de escoamento incompressível onde a velocidade na direção é dada por , com e coordenadas medidas em metros. A pressão no ponto é (manométrica), a massa específica do fluido é , e o eixo está na vertical. Precisamos encontrar a componente da velocidade em , calcular a aceleração do fluido, determinar o gradiente de pressão no ponto e a distribuição de pressão ao longo do eixo positivo.
Vamos precisar de conceitos de equações de continuidade, aceleração em campos de velocidade, e equações de Navier-Stokes para relacionar o gradiente de pressão e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a componente mais simples possível da velocidade em , que chamaremos de . Como o escoamento é incompressível e está em duas dimensões ( e ), a equação de continuidade nos diz que:
Sabemos que , então:
Substituindo na equação de continuidade:
Integrando em relação a :
Para a componente mais simples, assumimos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração do fluido. A aceleração total em um fluxo bidimensional é dada por:
Como e , temos:
Substituindo:
Portanto, a aceleração do fluido é:

Passo 4

Vamos determinar o gradiente de pressão no ponto . As equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e estacionário sem viscosidade são:
Onde é o gradiente de pressão. Rearranjando:
Usando a aceleração encontrada:
No ponto :
Convertendo para unidades de pressão (Pascal, já que ):

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a distribuição de pressão ao longo do eixo positivo. Sabemos que na direção , o gradiente de pressão simplifica para:
Integrando em relação a :
Usando a condição de que em , :
Portanto, a distribuição de pressão ao longo do eixo positivo é:

Resposta

A componente da velocidade em é , a aceleração do fluido é , o gradiente de pressão no ponto é , e a distribuição de pressão ao longo do eixo positivo é .

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(b)
©
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