A componente em x da velocidade em um campo de escoamento incompressível é dada por u=A x, em que A=2 s^-1 e as coordenadas são medidas em metros. A pressão no ponto (x, y)=(0,0) é p0=190 kPa (manométrica). A massa específica é rho=1,50 kg / m^3 e o eixo z é na vertical. Determine a componente mais simples possivel da velocidade em y. Calcule a aceleração do fluido e determine o gradiente de pressão no ponto (x, y)=(2,1). Encontre a distribuição de pressão ao longo do eixo de x positivo.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um campo de escoamento incompressível onde a velocidade na direção x é dada por u = A x, com A = 2 , s^-1 e coordenadas medidas em metros. A pressão no ponto (0,0) é p0 = 190 , kPa (manométrica), a massa específica do fluido é rho = 1,50 , kg/m^3, e o eixo z está na vertical. Precisamos encontrar a componente da velocidade em y, calcular a aceleração do fluido, determinar o gradiente de pressão no ponto (2,1) e a distribuição de pressão ao longo do eixo x positivo.
Vamos precisar de conceitos de equações de continuidade, aceleração em campos de velocidade, e equações de Navier-Stokes para relacionar o gradiente de pressão e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a componente mais simples possível da velocidade em y, que chamaremos de v. Como o escoamento é incompressível e está em duas dimensões ( x e y), a equação de continuidade nos diz que:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Sabemos que u = A x, então:
partial upartial x = A = 2 , s^-1
Substituindo na equação de continuidade:
2 + partial vpartial y = 0 implies partial vpartial y = -2
Integrando em relação a y:
v = -2y + C
Para a componente mais simples, assumimos que C = 0, então:
v = -2y

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração do fluido. A aceleração total a em um fluxo bidimensional é dada por:
a = ( u partial upartial x + v partial upartial y ) i + ( u partial vpartial x + v partial vpartial y ) j
Como u = 2x e v = -2y, temos:
partial upartial x = 2, partial upartial y = 0
partial vpartial x = 0, partial vpartial y = -2
Substituindo:
ax = u cdot 2 + v cdot 0 = 2x cdot 2 = 4x
ay = u cdot 0 + v cdot (-2) = -2y cdot (-2) = 4y
Portanto, a aceleração do fluido é:
a = 4x , i + 4y , j

Passo 4

Vamos determinar o gradiente de pressão no ponto (2,1). As equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e estacionário sem viscosidade são:
rho a = -nabla p
Onde nabla p é o gradiente de pressão. Rearranjando:
nabla p = -rho a
Usando a aceleração encontrada:
nabla p = -1,50 ( 4x , i + 4y , j ) = -6x , i -6y , j , kg/(m cdot s^2)
No ponto (2,1):
nabla p = -6 cdot 2 , i -6 cdot 1 , j = -12 , i -6 , j , kg/(m cdot s^2)
Convertendo para unidades de pressão (Pascal, já que 1 , kg/(m cdot s^2) = 1 , Pa):
nabla p = -12 , i -6 , j , Pa/m

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a distribuição de pressão ao longo do eixo x positivo. Sabemos que na direção y=0, o gradiente de pressão simplifica para:
dpdx = -6x
Integrando em relação a x:
p(x) = -3x^2 + C
Usando a condição de que em x=0, p = p0 = 190 , kPa:
190 times 10^3 = -3 cdot 0^2 + C implies C = 190 times 10^3 , Pa
Portanto, a distribuição de pressão ao longo do eixo x positivo é:
p(x) = 190 times 10^3 - 3x^2 , Pa

Resposta

A componente da velocidade em y é v = -2y, a aceleração do fluido é a = 4x , i + 4y , j, o gradiente de pressão no ponto (2,1) é nabla p = -12 , i -6 , j , Pa/m, e a distribuição de pressão ao longo do eixo x positivo é p(x) = 190 times 10^3 - 3x^2 , Pa.

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