A componente em
da velocidade em um campo de escoamento incompressível é dada por
, em que
e as coordenadas são medidas em metros. A pressão no ponto
é
(manométrica). A massa específica é
e o eixo
é na vertical. Determine a componente mais simples possivel da velocidade em
. Calcule a aceleração do fluido e determine o gradiente de pressão no ponto
. Encontre a distribuição de pressão ao longo do eixo de
positivo.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um campo de escoamento incompressível onde a velocidade na direção
é dada por
, com
e coordenadas medidas em metros. A pressão no ponto
é
(manométrica), a massa específica do fluido é
, e o eixo
está na vertical. Precisamos encontrar a componente da velocidade em
, calcular a aceleração do fluido, determinar o gradiente de pressão no ponto
e a distribuição de pressão ao longo do eixo
positivo.
Vamos precisar de conceitos de equações de continuidade, aceleração em campos de velocidade, e equações de Navier-Stokes para relacionar o gradiente de pressão e a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a componente mais simples possível da velocidade em
, que chamaremos de
. Como o escoamento é incompressível e está em duas dimensões (
e
), a equação de continuidade nos diz que:
Sabemos que
, então:
Substituindo na equação de continuidade:
Integrando em relação a
:
Para a componente mais simples, assumimos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do fluido. A aceleração total
em um fluxo bidimensional é dada por:
Como
e
, temos:
Substituindo:
Portanto, a aceleração do fluido é:
Passo 4
Vamos determinar o gradiente de pressão no ponto
. As equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e estacionário sem viscosidade são:
Onde
é o gradiente de pressão. Rearranjando:
Usando a aceleração encontrada:
No ponto
:
Convertendo para unidades de pressão (Pascal, já que
):
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a distribuição de pressão ao longo do eixo
positivo. Sabemos que na direção
, o gradiente de pressão simplifica para:
Integrando em relação a
:
Usando a condição de que em
,
:
Portanto, a distribuição de pressão ao longo do eixo
positivo é:
Resposta
A componente da velocidade em
é
, a aceleração do fluido é
, o gradiente de pressão no ponto
é
, e a distribuição de pressão ao longo do eixo
positivo é
.