Considere-se um escoamento com as seguintes premissas:
- Regime permanente; - Escoamento incompressível; - Ausência de efeitos advectivos e difusivos.
Com estas premissas, simplifique a componente
da equação de Navier-Stokes. Com ela, calcule o campo de pressão deste escoamento.
Com estas premissas, simplifique a componente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente simplificar a componente $ x_{2} $ da equação de Navier-Stokes considerando algumas premissas específicas: escoamento em regime permanente, incompressível e sem efeitos advectivos e difusivos. Depois disso, precisamos calcular o campo de pressão desse escoamento. Ou seja, vamos lidar com a mecânica dos fluidos, especificamente com as equações de Navier-Stokes, e entender como essas simplificações afetam a pressão no escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Navier-Stokes. Elas descrevem o movimento de fluidos e são fundamentais na mecânica dos fluidos. Em formato geral, a equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível é:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do fluido,
- $ \mathbf{v} $ é o campo de velocidade,
- $ p $ é a pressão,
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica,
- $ \mathbf{f} $ representa forças externas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as premissas do exercício para simplificar essa equação. As premissas são:
- Regime permanente: significa que as propriedades do escoamento não mudam com o tempo, então $ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = 0 $.
- Escoamento incompressível: a densidade $ \rho $ é constante.
- Ausência de efeitos advectivos e difusivos: isso implica que os termos não lineares ($ (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}
\mu \nabla^{2} \mathbf{v} $) são desprezíveis.
Passo 4
Com essas simplificações, a equação de Navier-Stokes reduz para:
Isso quer dizer que, sob essas condições, o gradiente de pressão é equilibrado pelas forças externas aplicadas ao fluido.
Passo 5
No caso específico do escoamento sem forças externas além da pressão, temos $ \mathbf{f} = 0 $. Portanto, a equação se simplifica ainda mais:
Isso indica que o gradiente de pressão é zero, ou seja, a pressão é constante em todo o campo de escoamento.
Passo 6
Entretanto, se houver alguma força externa presente, como a gravidade, o gradiente de pressão será igual a essa força. Supondo que a única força externa seja a gravidade, a equação fica:
Onde $ \mathbf{g} $ é a aceleração da gravidade.
Passo 7
Para calcular o campo de pressão, integramos essa equação. Se considerarmos que a pressão varia apenas na direção $ x_{2} $, temos:
Integrando ambos os lados em relação a $ x_{2} $:
Onde $ p_{0} $ é a pressão em $ x_{2} = 0 $.
Resposta
O campo de pressão para o escoamento considerado é dado por: