Considere-se um escoamento com as seguintes premissas:
  • Regime permanente; - Escoamento incompressível; - Ausência de efeitos advectivos e difusivos.
    Com estas premissas, simplifique a componente x2 da equação de Navier-Stokes. Com ela, calcule o campo de pressão deste escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente simplificar a componente $ x_{2} $ da equação de Navier-Stokes considerando algumas premissas específicas: escoamento em regime permanente, incompressível e sem efeitos advectivos e difusivos. Depois disso, precisamos calcular o campo de pressão desse escoamento. Ou seja, vamos lidar com a mecânica dos fluidos, especificamente com as equações de Navier-Stokes, e entender como essas simplificações afetam a pressão no escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Navier-Stokes. Elas descrevem o movimento de fluidos e são fundamentais na mecânica dos fluidos. Em formato geral, a equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível é:
rho ( partial vpartial t + (v cdot nabla) v ) = -nabla p + mu nabla^2 v + f
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ \mathbf{v} $ é o campo de velocidade,
  • $ p $ é a pressão,
  • $ \mu $ é a viscosidade dinâmica,
  • $ \mathbf{f} $ representa forças externas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as premissas do exercício para simplificar essa equação. As premissas são:
  1. Regime permanente: significa que as propriedades do escoamento não mudam com o tempo, então $ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = 0 $.
  2. Escoamento incompressível: a densidade $ \rho $ é constante.
  3. Ausência de efeitos advectivos e difusivos: isso implica que os termos não lineares ($ (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} partial vpartial t = 0 \mu \nabla^{2} \mathbf{v} $) são desprezíveis.

Passo 4

Com essas simplificações, a equação de Navier-Stokes reduz para:
0 = -nabla p + f
Isso quer dizer que, sob essas condições, o gradiente de pressão é equilibrado pelas forças externas aplicadas ao fluido.

Passo 5

No caso específico do escoamento sem forças externas além da pressão, temos $ \mathbf{f} = 0 $. Portanto, a equação se simplifica ainda mais:
f = 0
Isso indica que o gradiente de pressão é zero, ou seja, a pressão é constante em todo o campo de escoamento.

Passo 6

Entretanto, se houver alguma força externa presente, como a gravidade, o gradiente de pressão será igual a essa força. Supondo que a única força externa seja a gravidade, a equação fica:
nabla p = rho g
Onde $ \mathbf{g} $ é a aceleração da gravidade.

Passo 7

Para calcular o campo de pressão, integramos essa equação. Se considerarmos que a pressão varia apenas na direção $ x_{2} $, temos:
x2
Integrando ambos os lados em relação a $ x_{2} $:
dpdx2 = rho g
Onde $ p_{0} $ é a pressão em $ x_{2} = 0 $.

Resposta

O campo de pressão para o escoamento considerado é dado por:
p(x2) = p0 + rho g x2

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