Utilizando a equação de Navier-Stokes, deduza a equação de Bernoulli. Use as considerações que achar necessárias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a equação de Navier-Stokes e chegar na famosa equação de Bernoulli. Isso tudo faz parte da matéria de Mecânica dos Fluidos. Para resolver, vamos precisar entender como as duas equações se relacionam e quais simplificações podemos fazer na Navier-Stokes para chegar na Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Navier-Stokes. Ela descreve o movimento dos fluidos e é dada por:
Aqui,
é a densidade do fluido,
é a velocidade,
é a pressão,
é a viscosidade, e
representa forças externas.
Passo 3
Agora, para deduzir a equação de Bernoulli, precisamos simplificar essa equação de Navier-Stokes. Vamos considerar um fluxo estacionário, ou seja, que não muda com o tempo. Isso faz com que o termo
desapareça.
Passo 4
Também vamos assumir que o fluido é incompressível e que a viscosidade é desprezível (ou seja,
). Com essas simplificações, a equação de Navier-Stokes fica:
Passo 5
Considerando que não há forças externas atuando no fluido além da gravidade, podemos escrever
como
, onde
é a aceleração da gravidade. Assim, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por um elemento de deslocamento ao longo da trajetória do fluxo. Isso nos dá:
Passo 7
Integrando ao longo de uma linha de fluxo, obtemos:
Passo 8
Resolvendo a integral, temos:
Onde
é a altura em relação a um ponto de referência.
Resposta
Portanto, deduzimos a equação de Bernoulli: