Utilizando a equação de Navier-Stokes, deduza a equação de Bernoulli. Use as considerações que achar necessárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a equação de Navier-Stokes e chegar na famosa equação de Bernoulli. Isso tudo faz parte da matéria de Mecânica dos Fluidos. Para resolver, vamos precisar entender como as duas equações se relacionam e quais simplificações podemos fazer na Navier-Stokes para chegar na Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Navier-Stokes. Ela descreve o movimento dos fluidos e é dada por:
rho ( partial vpartial t + (v cdot nabla)v ) = -nabla p + mu nabla^2 v + f
Aqui, rho é a densidade do fluido, v é a velocidade, p é a pressão, mu é a viscosidade, e f representa forças externas.

Passo 3

Agora, para deduzir a equação de Bernoulli, precisamos simplificar essa equação de Navier-Stokes. Vamos considerar um fluxo estacionário, ou seja, que não muda com o tempo. Isso faz com que o termo partial vpartial t desapareça.

Passo 4

Também vamos assumir que o fluido é incompressível e que a viscosidade é desprezível (ou seja, mu = 0). Com essas simplificações, a equação de Navier-Stokes fica:
rho (v cdot nabla)v = -nabla p + f

Passo 5

Considerando que não há forças externas atuando no fluido além da gravidade, podemos escrever f como rho g, onde g é a aceleração da gravidade. Assim, a equação fica:
rho (v cdot nabla)v = -nabla p + rho g

Passo 6

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por um elemento de deslocamento ao longo da trajetória do fluxo. Isso nos dá:
rho v cdot dv = -d p + rho g cdot dr

Passo 7

Integrando ao longo de uma linha de fluxo, obtemos:
integral rho v cdot dv + integral d p = integral rho g cdot dr

Passo 8

Resolvendo a integral, temos:
12 rho v^2 + p = rho g h + constante
Onde h é a altura em relação a um ponto de referência.

Resposta

Portanto, deduzimos a equação de Bernoulli:
12 rho v^2 + p + rho g h = constante

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