Considere um escoamento bidimensional laminar levemente inclinado
em relação à horizontal e sob a ação da gravidade:
Determine o campo de velocidade deste escoamento considerando que há ausência de gradientes de pressão na direção
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em relação à horizontal e sob a ação da gravidade:
Determine o campo de velocidade deste escoamento considerando que há ausência de gradientes de pressão na direção
Passo 1
Vamos entender o enunciado: temos um escoamento bidimensional laminar que está ligeiramente inclinado em relação à horizontal e sujeito à ação da gravidade. Nosso objetivo é determinar o campo de velocidade desse escoamento, considerando que não há gradientes de pressão na direção $ x_{1} $.
Aqui, trabalharemos com a mecânica dos fluidos, especificamente as equações de Navier-Stokes para fluxo laminar. Precisaremos aplicar conceitos de equilíbrio de forças e resolver as equações diferenciais para encontrar a velocidade do fluido.
Passo 2
Primeiro, estabelecemos o sistema de coordenadas. Vamos considerar $ x_{1} $ na direção do escoamento e $ x_{2} $ perpendicular a ele. Como o escoamento é bidimensional, a velocidade do fluido terá componentes somente nessas duas direções: $ u(x_{1}, x_{2}) $ em $ x_{1} $ e $ v(x_{1}, x_{2}) $ em $ x_{2} $.
Passo 3
Em seguida, aplicamos as equações de Navier-Stokes para um fluxo incompressível e laminar. Como não há variação de pressão na direção $ x_{1} $, a equação na direção $ x_{1} $ simplifica-se. Além disso, assumimos que não há variação na direção $ x_{2} $, ou seja, $ \frac{\partial u}{\partial x_{2}} = 0 $ e $ \frac{\partial v}{\partial x_{1}} = 0 $.
Passo 4
Considerando o equilíbrio de forças na direção $ x_{1} $, temos que a força gravitacional inclinada é equilibrada pela força viscosa. A equação resultante é:
onde:
- $ \mu $ é a viscosidade do fluido,
- $ \rho $ é a densidade do fluido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ \theta $ é o ângulo de inclinação em relação à horizontal.
Passo 5
Integrando a equação diferencial duas vezes em relação a $ x_{2} $, obtemos a expressão para a velocidade $ u(x_{2}) $:
Aplicamos as condições de contorno, como a velocidade na parede sendo zero ($ u = 0 $ em $ x_{2} = 0 $) e continuidade da velocidade na interface, para determinar as constantes $ C_{1} $ e $ C_{2} $. Após resolver, obtemos a expressão final para a velocidade.
Resposta
A expressão do campo de velocidade para o escoamento é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes determinadas pelas condições de contorno específicas do problema.